Um financiamento de \mathrm{R} \ 50.000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos deáçõ8 %$ a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
  • Valor financiado (capital inicial): \,R\$\,50.000.
  • Número de prestações: \,12 mensais.
  • Taxa de juros efetiva mensal: \,i = 8\% = 0,08.
  • Período de carência: \,3 meses (durante esses meses não há pagamento; os juros são capitalizados).
  • Perguntas: calcular o valor das prestações (1) antecipadas (anuidade devida) e (2) postecipadas (anuidade imediata / vencida), considerando que após os \,3 meses de carência começam as \,12 prestações iguais.

Passo 2

Entendendo a carência e o que ela faz ao saldo devedor.
  • Durante a carência de \,3 meses o empréstimo fica rendendo juros e não é amortizado. Logo, o montante devido ao final da carência (isto é, no tempo imediatamente antes de começarem as prestações) é o capital inicial capitalizado por \,3 meses à taxa \,i.
  • Fórmula de capitalização de juros compostos para \,t períodos: \displaystyle M = C\,(1+i)^t, onde M é o montante, C é o capital inicial e i é a taxa por período.
  • Aplicando aqui: \displaystyle M_3 = 50.000\cdot(1+0,08)^3.
Calculemos (1+0,08)^3:
1,08^2 = 1,1664,\qquad 1,08^3 = 1,1664\cdot 1,08 = 1,259712.
Logo
M_3 = 50.000\cdot 1,259712 = 62.985,6.
Interpretando: ao término da carência o saldo devedor é \,R\$\,62.985,60 (vou manter os centavos nas próximas contas).

Passo 3

Como transformar esse montante em uma série de 12 prestações postecipadas (vencidas).
  • Definição/princípio: o valor presente de uma anuidade postecipada de \,n pagamentos iguais \,A com taxa por período \,i é
\text{PV} = A\cdot a_{\overline{n}|} \quad\text{onde}\quad a_{\overline{n}|}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui a PV deve ser tomada no instante imediatamente antes do primeiro pagamento; no nosso caso, se tomamos o instante no fim da carência (tempo 3), a PV será justamente \,M_3 e o primeiro pagamento postecipado ocorrerá um período depois (no fim do mês seguinte).
  • Isolando a prestação: \displaystyle A = \frac{\text{PV}}{a_{\overline{n}|}}.
Aplicamos com \text{PV}=M_3=62.985,6, n=12, i=0,08.

Passo 4

Cálculo de a_{\overline{12}|}.
  • Precisamos de (1+i)^{-12} = 1,08^{-12}. Primeiro calculamos 1,08^{12}:
\begin{aligned} 1,08^3 &= 1,259712,\\\\ 1,08^4 &= 1,36048896,\\\\ 1,08^6 &= 1,586874322944\\ (\text{vimos progressivamente}),\\\\ 1,08^{12} &\approx 2,516995233237328. \end{aligned}
  • Então (1,08)^{-12}\approx \dfrac{1}{2,516995233237328}\approx 0,397299.
Agora
a_{\overline{12}|}=\frac{1-(1,08)^{-12}}{0,08}=\frac{1-0,397299}{0,08}=\frac{0,602701}{0,08}\approx 7,5337625.

Passo 5

Cálculo da prestação postecipada.
  • Usando \displaystyle A_{\text{post}}=\frac{M_3}{a_{\overline{12}|}}, temos
A_{\text{post}}=\frac{62.985,6}{7,5337625}\approx 8.360,44.
Explicação rápida: esta é a prestação paga ao final de cada mês (após a carência), durante 12 meses, que tem valor aproximado \,R\$\,8.360,44.

Passo 6

Como obter a prestação antecipada (anuidade devida) e razão entre as duas prestações.
  • Relação fácil entre anuidade devida e anuidade imediata: o fator presente da anuidade devida de n pagamentos é
\ddot{a}_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\,(1+i).
Logo, para a mesma PV, a prestação antecipada A_{\text{ant}} satisfaz
A_{\text{ant}}=\frac{\text{PV}}{\ddot{a}_{\overline{n}|}}=\frac{\text{PV}}{a_{\overline{n}|}(1+i)}=\frac{A_{\text{post}}}{1+i}.
Isso faz sentido intuitivo: na anuidade devida cada prestação ocorre um período antes em relação à anuidade vencida, então cada prestação pode ser menor por um fator (1+i).

Passo 7

Cálculo numérico da prestação antecipada.
  • Usando A_{\text{ant}}=A_{\text{post}}/(1+0,08):
A_{\text{ant}}=\frac{8.360,44}{1,08}\approx 7.741,52.
(ou diretamente A_{\text{ant}}=\dfrac{62.985,6}{\ddot{a}_{\overline{12}|}} com \ddot{a}_{\overline{12}|}=7,5337625\cdot1,08\approx 8,1364635, dando o mesmo resultado).

Passo 8

Pequena verificação (sanity check) — congruência rápida
  • Se multiplicarmos A_{\text{post}} por a_{\overline{12}|} deve retornar aproximadamente M_3:
8.360,44\cdot 7,5337625\approx 62.985,6,
o que confirma coerência numérica.

Resposta

Prestação antecipada: R\$\,7.741,52\nPrestação postecipada: R\$\,8.360,44

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