Um financiamento de \mathrm{R} \ 50.000será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de8 %$ a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
Valor financiado (capital inicial): \,R\$\,50.000.
Número de prestações: \,12 mensais.
Taxa de juros efetiva mensal: \,i = 8\% = 0,08.
Período de carência: \,3 meses (durante esses meses não há pagamento; os juros são capitalizados).
Perguntas: calcular o valor das prestações (1) antecipadas (anuidade devida) e (2) postecipadas (anuidade imediata / vencida), considerando que após os \,3 meses de carência começam as \,12 prestações iguais.
Passo 2
Entendendo a carência e o que ela faz ao saldo devedor.
Durante a carência de \,3 meses o empréstimo fica rendendo juros e não é amortizado. Logo, o montante devido ao final da carência (isto é, no tempo imediatamente antes de começarem as prestações) é o capital inicial capitalizado por \,3 meses à taxa \,i.
Fórmula de capitalização de juros compostos para \,t períodos: \displaystyle M = C\,(1+i)^t, onde M é o montante, C é o capital inicial e i é a taxa por período.
Aqui a PV deve ser tomada no instante imediatamente antes do primeiro pagamento; no nosso caso, se tomamos o instante no fim da carência (tempo 3), a PV será justamente \,M_3 e o primeiro pagamento postecipado ocorrerá um período depois (no fim do mês seguinte).
Isolando a prestação: \displaystyle A = \frac{\text{PV}}{a_{\overline{n}|}}.
Aplicamos com \text{PV}=M_3=62.985,6, n=12, i=0,08.
Passo 4
Cálculo de a_{\overline{12}|}.
Precisamos de (1+i)^{-12} = 1,08^{-12}. Primeiro calculamos 1,08^{12}:
Isso faz sentido intuitivo: na anuidade devida cada prestação ocorre um período antes em relação à anuidade vencida, então cada prestação pode ser menor por um fator (1+i).
(ou diretamente A_{\text{ant}}=\dfrac{62.985,6}{\ddot{a}_{\overline{12}|}} com \ddot{a}_{\overline{12}|}=7,5337625\cdot1,08\approx 8,1364635, dando o mesmo resultado).