Quanto deverá ser aplicado de forma uniforme postecipada durante oito meses a uma taxa efetiva de 5 \% a.m. para que possamos efetuar, já a partir do término do segundo mês, uma série de sete saques gradativamente crescentes, em que o primeiro seja igual a \mathrm{G}=\ 5 , formando com os outros uma série gradiente uniforme igual aé\mathrm{G}, 2 \mathrm{G}, 3 \mathrm{G}, ···, 7 \mathrm{G}$ ?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o valor do pagamento uniforme, efetuado no final de cada mês durante oito meses, que seja suficiente para permitir uma sequência de sete saques mensais crescentes iniciando no término do segundo mês. Informações dadas e perguntas claras:
  • A taxa efetiva é \,i=5\% ao mês, ou seja \,i=0{,}05.
  • Os saques começam no final do mês 2 e ocorrem nos meses 2,3,4,5,6,7,8 — total de 7 saques.
  • Os valores dos saques formam um gradiente aritmético: \,G,2G,3G,\ldots,7G, com \,G=\$5.
  • Os depósitos (aplicações) são uniformes e postecipados (ou seja, no final de cada mês) durante 8 meses. Denotamos esse pagamento uniforme por \,R (em reais/dólares).
  • Pergunta: qual é o valor de \,R (o pagamento mensal) que torna o plano exato (ou seja, que o montante acumulado das aplicações paga exatamente os saques)?

Passo 2

Escolha do método: vou igualar os valores futuros acumulados no instante final (fim do mês 8). Por que? Porque temos depósitos até o mês 8 e o último saque ocorre no mês 8; é natural acumular tudo até esse instante e igualar a soma acumulada dos depósitos com a soma acumulada dos saques. Isso evita descontos repetidos e facilita o cálculo. A igualdade será:
\text{Acumulado das aplicações em }t=8 \;=\; \text{Acumulado dos saques em }t=8.çõ

Passo 3

Fórmula para o valor futuro de uma série de pagamentos uniformes postecipados:
\text{Se }R\text{ é o pagamento por período, então o valor futuro em }t=n\text{ é }R\cdot s_{n|i},éíãé
onde
s_{n|i}=\frac{(1+i)^n-1}{i}
é o fator de acumulação de uma anuidade (mostra quanto se acumula ao fim de n períodos quando se paga R no fim de cada período). Aqui i é a taxa por período e (1+i)^n é o fator de acumulação de um único montante por n períodos.
Aplicando ao nosso caso temos o acumulado das aplicações em t=8:
\text{AV}_{\text{aplic}}=R\cdot s_{8|i}=R\cdot\frac{(1+i)^8-1}{i}.

Passo 4

Calculemos os fatores de acumulação com i=0{,}05. Definindo r=1+i=1{,}05:
  • \;r^2=1{,}05^2=1{,}1025.
  • \;r^4=(r^2)^2=1{,}1025^2=1{,}21550625.
  • \;r^8=(r^4)^2=1{,}21550625^2\approx1{,}477455443.
Agora o fator s_{8|i}:
s_{8|i}=\frac{r^8-1}{i}=\frac{1{,}477455443-1}{0{,}05}=\frac{0{,}477455443}{0{,}05}\approx9{,}54910886.
Portanto
\text{AV}_{\text{aplic}}=R\cdot 9{,}54910886.

Passo 5

Fórmula para o acumulado dos saques em t=8. Cada saque ocorre no final do mês k+1 com valor kG para k=1,\ldots,7. O saque em \,t=k+1 acumula até t=8 pelo fator r^{8-(k+1)}=r^{7-k}. Logo o valor futuro dos saques é
\text{AV}_{\text{saques}}=G\sum_{k=1}^{7} k\,r^{7-k}.
Explicando: para cada k multiplicamos o valor do saque kG pelo fator de acumulação até o tempo 8, somamos tudo e multiplicamos por G.

Passo 6

Calculemos os termos necessários numericamente (lembrando r=1{,}05):
  • r^0=1
  • r^1=1{,}05
  • r^2=1{,}1025
  • r^3=1{,}157625
  • r^4=1{,}21550625
  • r^5=1{,}2762815625
  • r^6=1{,}340095640625
Agora calculemos k\,r^{7-k} para k=1,\ldots,7 (lembre que isso corresponde aos expoentes 6,5,4,3,2,1,0):
\begin{aligned} 1\cdot r^6 &= 1{,}340095640625\\\\ 2\cdot r^5 &= 2\cdot 1{,}2762815625 = 2{,}552563125\\\\ 3\cdot r^4 &= 3\cdot 1{,}21550625 = 3{,}64651875\\\\ 4\cdot r^3 &= 4\cdot 1{,}157625 = 4{,}6305\\\\ 5\cdot r^2 &= 5\cdot 1{,}1025 = 5{,}5125\\\\ 6\cdot r^1 &= 6\cdot 1{,}05 = 6{,}3\\\\ 7\cdot r^0 &= 7\cdot 1 = 7 \end{aligned}
Somando esses termos:
\sum_{k=1}^{7} k\,r^{7-k} =1{,}340095640625+2{,}552563125+3{,}64651875+4{,}6305+5{,}5125+6{,}3+7 \approx30{,}982177515625.

Passo 7

Multiplicando pela constante G=\$5 obtemos o acumulado dos saques no tempo 8:
\text{AV}_{\text{saques}}=G\cdot 30{,}982177515625 =5\cdot 30{,}982177515625\approx154{,}910887578125.

Passo 8

Agora igualamos o acumulado das aplicações ao acumulado dos saques e resolvemos para R:
R\cdot 9{,}54910886 \;=\;154{,}910887578125.
Logo
R=\frac{154{,}910887578125}{9{,}54910886}\approx16{,}22.
Arredondando para centavos (já que é um valor monetário), obtemos R\approx\$16{,}22 por mês.

Resposta

\$16{,}22

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