Quanto deverá ser aplicado de forma uniforme postecipada durante oito meses a uma taxa efetiva de
a.m. para que possamos efetuar, já a partir do término do segundo mês, uma série de sete saques gradativamente crescentes, em que o primeiro seja igual a
5
\mathrm{G}, 2 \mathrm{G}, 3 \mathrm{G}, ···, 7 \mathrm{G}$ ?
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o valor do pagamento uniforme, efetuado no final de cada mês durante oito meses, que seja suficiente para permitir uma sequência de sete saques mensais crescentes iniciando no término do segundo mês. Informações dadas e perguntas claras:
- A taxa efetiva é
ao mês, ou seja . - Os saques começam no final do mês 2 e ocorrem nos meses
— total de 7 saques. - Os valores dos saques formam um gradiente aritmético:
, com . - Os depósitos (aplicações) são uniformes e postecipados (ou seja, no final de cada mês) durante 8 meses. Denotamos esse pagamento uniforme por
(em reais/dólares). - Pergunta: qual é o valor de
(o pagamento mensal) que torna o plano exato (ou seja, que o montante acumulado das aplicações paga exatamente os saques)?
Passo 2
Escolha do método: vou igualar os valores futuros acumulados no instante final (fim do mês 8). Por que? Porque temos depósitos até o mês 8 e o último saque ocorre no mês 8; é natural acumular tudo até esse instante e igualar a soma acumulada dos depósitos com a soma acumulada dos saques. Isso evita descontos repetidos e facilita o cálculo. A igualdade será:
Passo 3
Fórmula para o valor futuro de uma série de pagamentos uniformes postecipados:
onde
é o fator de acumulação de uma anuidade (mostra quanto se acumula ao fim de
períodos quando se paga
no fim de cada período). Aqui
é a taxa por período e
é o fator de acumulação de um único montante por
períodos.
Aplicando ao nosso caso temos o acumulado das aplicações em
:
Passo 4
Calculemos os fatores de acumulação com
. Definindo
:
Agora o fator
:
Portanto
Passo 5
Fórmula para o acumulado dos saques em
. Cada saque ocorre no final do mês
com valor
para
. O saque em
acumula até
pelo fator
. Logo o valor futuro dos saques é
Explicando: para cada
multiplicamos o valor do saque
pelo fator de acumulação até o tempo 8, somamos tudo e multiplicamos por
.
Passo 6
Calculemos os termos necessários numericamente (lembrando
):
Agora calculemos
para
(lembre que isso corresponde aos expoentes
):
Somando esses termos:
Passo 7
Multiplicando pela constante
obtemos o acumulado dos saques no tempo 8:
Passo 8
Agora igualamos o acumulado das aplicações ao acumulado dos saques e resolvemos para
:
Logo
Arredondando para centavos (já que é um valor monetário), obtemos
por mês.