Uma máquina permite uma economia de custos de \ 10.000 no primeiro ano e gradativamente crescente até o quinto ano de sua vida útil. Considerando uma taxa de juros efetiva deéú12 %$ ao ano, calcular o valor atual dessa economia de custos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor atual (presente) da economia de custos gerada por uma máquina ao longo de 5 anos. As informações dadas são:
\text{Economia no 1\(^\circ\) ano} = \$10.000
e a economia é “gradativamente crescente até o 5 ^\circ ano”. Vou interpretar isso como um crescimento aritmético constante, ou seja, as economias anuais valem:
\$10.000,\; \$20.000,\; \$30.000,\; \$40.000,\; \$50.000
(ou seja, começa em $10.000 no ano 1 e aumenta de $10.000 a cada ano, até o ano 5). A taxa de juros efetiva dada é
i = 12\% \text{ ao ano} = 0{,}12.
A tarefa é encontrar o valor presente dessas cinco economias.

Passo 2

Conceito breve e fórmula que vamos usar (sem complicar): cada economia anual é um fluxo de caixa recebido no final de cada ano e, para trazê-lo ao valor atual, usamos o fator de desconto. O fator de desconto para um pagamento ocorrendo no final do ano t é
v^t = \left(\frac{1}{1+i}\right)^t,
onde i é a taxa de juros anual. O valor presente (PV) do fluxo total é a soma dos valores presentes de cada parcela:
\text{PV}=\sum_{t=1}^{5} \frac{A_t}{(1+i)^t},
onde A_t é a economia no ano t.

Passo 3

Escrevo explicitamente as economias anuais A_t conforme a interpretação do enunciado:
A_1 = 10.000,\; A_2 = 20.000,\; A_3 = 30.000,\; A_4 = 40.000,\; A_5 = 50.000.
Substituindo na soma do passo anterior:
\text{PV}=\frac{10.000}{(1+i)^1}+\frac{20.000}{(1+i)^2}+\frac{30.000}{(1+i)^3}+\frac{40.000}{(1+i)^4}+\frac{50.000}{(1+i)^5}.
Com i=0{,}12, é conveniente calcular primeiro o fator v=\dfrac{1}{1+i}:
v=\frac{1}{1{,}12}=0{,}8928571428571429\;\text{(aprox.)}.

Passo 4

Agora calculo o valor presente de cada parcela individualmente (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova):
\begin{aligned} \text{PV}_1 &= 10.000\cdot v = 10.000\cdot 0{,}8928571428571429 = 8.928{,}571428571429,\\[4pt] \text{PV}_2 &= 20.000\cdot v^2 = 20.000\cdot 0{,}7971938775510204 = 15.943{,}877551020408,\\[4pt] \text{PV}_3 &= 30.000\cdot v^3 = 30.000\cdot 0{,}7114235128205128 = 21.342{,}705384615384,\\[4pt] \text{PV}_4 &= 40.000\cdot v^4 = 40.000\cdot 0{,}6353095601530056 = 25.412{,}382406120224,\\[4pt] \text{PV}_5 &= 50.000\cdot v^5 = 50.000\cdot 0{,}5674185001372834 = 28.370{,}92500686417. \end{aligned}
Nota rápida sobre como obtive v^2,v^3,\dots: multipliquei sucessivamente v por si mesmo (ou calculei v^t=(1{,}12)^{-t}). Esses números estão arredondados nas casas mostradas, o suficiente para somar sem perda relevante.]

Passo 5

Somando os valores presentes parciais para obter o valor presente total:
\begin{aligned} \text{PV} &= \text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3+\text{PV}_4+\text{PV}_5\\[4pt] &=8.928{,}571428571429+15.943{,}877551020408+21.342{,}705384615384\\[4pt] &\quad+25.412{,}382406120224+28.370{,}92500686417\\[4pt] &\approx 99.998{,}46177719162. \end{aligned}
Arredondando para centavos, obtemos aproximadamente \$99.998{,}46.]

Passo 6

Interpretação simples e dica de prova: o resultado ficou praticamente \$100.000. Isso ocorreu porque a série 10.000,20.000,\dots,50.000 descontada a 12\% tem soma muito próxima de 10 na forma \sum_{t=1}^5 t v^t, então 10.000 vezes essa soma dá quase 100.000. Na prova, se você derivar a soma exata \sum_{t=1}^n t v^t (fórmula fechada) conseguirá o mesmo número sem somar termo a termo — mas somar termo a termo como fiz aqui está perfeitamente aceitável quando n é pequeno (como 5).

Resposta

\$99.998{,}46

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