Uma máquina permite uma economia de custos de
10.000
12 %$ ao ano, calcular o valor atual dessa economia de custos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o valor atual (presente) da economia de custos gerada por uma máquina ao longo de 5 anos. As informações dadas são:
e a economia é “gradativamente crescente até o 5
ano”. Vou interpretar isso como um crescimento aritmético constante, ou seja, as economias anuais valem:
(ou seja, começa em $10.000 no ano 1 e aumenta de $10.000 a cada ano, até o ano 5). A taxa de juros efetiva dada é
A tarefa é encontrar o valor presente dessas cinco economias.
Passo 2
Conceito breve e fórmula que vamos usar (sem complicar): cada economia anual é um fluxo de caixa recebido no final de cada ano e, para trazê-lo ao valor atual, usamos o fator de desconto. O fator de desconto para um pagamento ocorrendo no final do ano
é
onde
é a taxa de juros anual. O valor presente (PV) do fluxo total é a soma dos valores presentes de cada parcela:
onde
é a economia no ano
.
Passo 3
Escrevo explicitamente as economias anuais
conforme a interpretação do enunciado:
Substituindo na soma do passo anterior:
Com
, é conveniente calcular primeiro o fator
:
Passo 4
Agora calculo o valor presente de cada parcela individualmente (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova):
Nota rápida sobre como obtive
: multipliquei sucessivamente
por si mesmo (ou calculei
). Esses números estão arredondados nas casas mostradas, o suficiente para somar sem perda relevante.]
Passo 5
Somando os valores presentes parciais para obter o valor presente total:
Arredondando para centavos, obtemos aproximadamente
.]
Passo 6
Interpretação simples e dica de prova: o resultado ficou praticamente
. Isso ocorreu porque a série
descontada a
tem soma muito próxima de
na forma
, então
vezes essa soma dá quase
. Na prova, se você derivar a soma exata
(fórmula fechada) conseguirá o mesmo número sem somar termo a termo — mas somar termo a termo como fiz aqui está perfeitamente aceitável quando
é pequeno (como
).