Find all points of intersection of the given curves.
r=2 sin 2 theta, quad r=1

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos de interseção das curvas dadas em coordenadas polares
r = 2sin(2theta)
e
r = 1
Ou seja, queremos todos os (r,theta) que satisfazem simultaneamente as duas equações. O conteúdo principal é resolver equações em coordenadas polares e lidar com a periodicidade da função seno.

Passo 2

Para encontrar as interseções, igualamos as expressões de r:
1 = 2sin(2theta)
Isolando o seno, temos
sin(2theta) = tfrac12

Passo 3

Agora resolvemos a equação sin(2theta)=tfrac12. Sabemos que
2theta = pi6 + 2pi k ou 2theta = 5pi6 + 2pi k,
para qualquer inteiro k.

Passo 4

Dividindo por 2 e restringindo theta ao intervalo [0,2pi), obtemos as soluções
theta = pi12 + pi k e theta = 5pi12 + pi k
Escolhendo k=0 e k=1 para cobrir uma volta completa, temos
theta = pi12,; 5pi12,; 13pi12,; 17pi12

Passo 5

Em todos esses pontos, o raio vale r=1. Logo, há quatro interseções no plano polar, dadas por:
(r,theta) = l(1,tfracpi12r),; l(1,tfrac5pi12r),; l(1,tfrac13pi12r),; l(1,tfrac17pi12r)

Resposta

(1,tfracpi12),; (1,tfrac5pi12),; (1,tfrac13pi12),; (1,tfrac17pi12)

Exercícios relacionados