Verifique se as seguintes séries são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo é séries infinitas, teste de convergência absoluta e critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, isto é,
Sabemos que sumn=1^infty1/n diverge (série harmônica) e sumn=1^infty1/n^3 converge, mas a soma de uma divergente com uma convergente diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
an=n^2+1n^3=1n+1n^3>0
Verificamos dois pontos:
limntoinftyan=0, pois 1n+1n^3to0.
an é decrescente para n>=1. De fato, considere f(x)=1/x+1/x^3;
f'(x)=-1x^2-3x^4<0para x>=1,
logo an+1<an.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.