Verifique se as seguintes séries são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n (n^2+1)n^3

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn^2+1n^3
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo é séries infinitas, teste de convergência absoluta e critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é,
sumn=1^inftygl|(-1)^nn^2+1n^3gr| =sumn=1^inftyn^2+1n^3 =sumn=1^inftyl(1n+1n^3r)
Sabemos que sumn=1^infty1/n diverge (série harmônica) e sumn=1^infty1/n^3 converge, mas a soma de uma divergente com uma convergente diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
an=n^2+1n^3=1n+1n^3>0
Verificamos dois pontos:
  1. limntoinftyan=0, pois 1n+1n^3to0.
  2. an é decrescente para n>=1. De fato, considere f(x)=1/x+1/x^3;
f'(x)=-1x^2-3x^4<0para x>=1,
logo an+1<an.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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