[12] Com quantos zeros termina o número 1000! ? Quál é a potência de 3 que aparece na decomposição de 1000 ! em fatores primos?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre 1000!:
  1. O número de zeros finais, que corresponde à multiplicidade de 10 em 1000!.
  2. A potência de 3 na fatoração prima de 1000!, isto é, a multiplicidade de 3.
    Para ambas usamos o Teorema de Legendre, que diz que, para um primo p, a multiplicidade de p em n! é
vp(n!) ;=;sumk=1^infty lfloor np^k rfloor,
somando só enquanto p^k<= n.

Passo 2

Para os zeros finais contamos quantas vezes aparece o fator 10=2cdot5. Como em n! há mais fatores 2 do que 5, basta calcular v5(1000!):
v5(1000!) ;=;sumk=1^infty lfloor 10005^k rfloor =lfloor 10005rfloor +lfloor 100025rfloor +lfloor 1000125rfloor +lfloor 1000625rfloor
Calculando cada termo:
lfloor1000/5rfloor=200,
lfloor1000/25rfloor=40,
lfloor1000/125rfloor=8,
lfloor1000/625rfloor=1.
Somando, v5(1000!)=200+40+8+1=249.
Logo, 1000! termina em 249 zeros.

Passo 3

Agora calculamos a multiplicidade de 3, isto é v3(1000!):
v3(1000!) ;=;sumk=1^infty lfloor 10003^k rfloor =lfloortfrac10003rfloor +lfloortfrac10009rfloor +lfloortfrac100027rfloor +lfloortfrac100081rfloor +lfloortfrac1000243rfloor +lfloortfrac1000729rfloor
Calculando cada piso:
lfloor1000/3rfloor=333,
lfloor1000/9rfloor=111,
lfloor1000/27rfloor=37,
lfloor1000/81rfloor=12,
lfloor1000/243rfloor=4,
lfloor1000/729rfloor=1.
Somando,
v3(1000!)=333+111+37+12+4+1=498

Resposta

O número 1000! termina com 249 zeros.
A potência de 3 na decomposição de 1000! é 498.

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