[12] Com quantos zeros termina o número 1000! ? Quál é a potência de 3 que aparece na decomposição de 1000 ! em fatores primos?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre
:
- O número de zeros finais, que corresponde à multiplicidade de
em . - A potência de
na fatoração prima de , isto é, a multiplicidade de .
Para ambas usamos o Teorema de Legendre, que diz que, para um primo, a multiplicidade de em é
somando só enquanto
.
Passo 2
Para os zeros finais contamos quantas vezes aparece o fator
. Como em
há mais fatores
do que
, basta calcular
:
Calculando cada termo:
,
,
,
.
Somando, .
Logo, termina em 249 zeros.
Somando,
Logo,
Passo 3
Agora calculamos a multiplicidade de
, isto é
:
Calculando cada piso:
,
,
,
,
,
.
Somando,
Somando,
Resposta
O número
termina com 249 zeros.
A potência de na decomposição de
é 498.
A potência de