Find a polar equation for the curve represented by the given Cartesian equation.
x=-y^2

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação cartesiana
x = -y^2
para coordenadas polares. Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,theta):
x = rcostheta
y = rsintheta

Passo 2

Substituímos essas expressões na equação x = -y^2. Assim,
rcostheta = -l(rsinthetar)^2

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito, obtemos
rcostheta = -r^2sin^2theta
Essa é uma equação em r e theta.

Passo 4

Para isolar r, notamos que r=0 corresponde apenas à origem. Para rneq0, dividimos ambos os lados por r:
costheta = -r,sin^2theta
e, finalmente,
r = -costhetasin^2theta

Resposta

A equação em coordenadas polares é
r = -costhetasin^2theta,
que também pode ser escrita como
r = -cottheta;csctheta

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