Find a power series solution in powers of (x). Show the details.
(y^{\prime \prime}-y{\prime}+x{2} y=0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução em série de potências em torno de x=0 para a equação diferencial
y''-y'+x^{2}y=0.
Informações dadas:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em x=0, logo existe solução em série de potências centrada em 0.
  • Deve-se expressar y como série em potências de x e obter a relação de recorrência entre os coeficientes, depois determinar os primeiros coeficientes em termos das constantes iniciais (os dois graus de liberdade da solução).

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0:
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
onde a_{n} são constantes a determinar. Vou calcular y' e y'' e reindexar para ter todas as séries em potências x^{n}.
Derivando termo a termo:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n} x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Também:
x^{2}y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n-2} x^{n},
onde, por convenção, a_{-1}=a_{-2}=0.

Passo 3

Substituo y'',\,y',\,x^{2}y na equação y''-y'+x^{2}y=0. Juntando as séries em potências de x^{n} obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+a_{n-2}\Big]x^{n}=0.
Como a série é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo n\ge0 vale a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+a_{n-2}=0.
Isolando a_{n+2},
\boxed{a_{n+2}=\frac{(n+1)a_{n+1}-a_{n-2}}{(n+2)(n+1)}.}
Esta é a relação que permite calcular todos os a_{k} a partir de a_{0} e a_{1} (constantes de integração).

Passo 4

Agora calculemos explicitamente os primeiros coeficientes em termos de a_{0} e a_{1}.
  • Para n=0:
2\cdot1\;a_{2}-1\cdot a_{1}+a_{-2}=0\quad\Rightarrow\quad 2a_{2}-a_{1}=0,
logo
\boxed{a_{2}=\frac{a_{1}}{2}.}
  • Para n=1:
3\cdot2\;a_{3}-2\;a_{2}+a_{-1}=0\quad\Rightarrow\quad 6a_{3}-2a_{2}=0,
logo, usando a_{2}=a_{1}/2,
\boxed{a_{3}=\frac{a_{2}}{3}=\frac{a_{1}}{6}.}
  • Para n=2:
4\cdot3\;a_{4}-3\;a_{3}+a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad 12a_{4}-3a_{3}+a_{0}=0,
logo, substituindo a_{3}=a_{1}/6,
12a_{4}-3\cdot\frac{a_{1}}{6}+a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad 12a_{4}-\frac{a_{1}}{2}+a_{0}=0,
\boxed{a_{4}=\frac{a_{1}/2-a_{0}}{12}=\frac{a_{1}-2a_{0}}{24}.}
  • Para n=3:
5\cdot4\;a_{5}-4\;a_{4}+a_{1}=0\quad\Rightarrow\quad 20a_{5}-4a_{4}+a_{1}=0,
logo
a_{5}=\frac{4a_{4}-a_{1}}{20}.
Substituindo a_{4}=(a_{1}-2a_{0})/24,
4a_{4}=\frac{a_{1}-2a_{0}}{6},\quad 4a_{4}-a_{1}=\frac{-5a_{1}-2a_{0}}{6},
\boxed{a_{5}=\frac{-5a_{1}-2a_{0}}{120}.}
  • Para n=4:
6\cdot5\;a_{6}-5\;a_{5}+a_{2}=0\quad\Rightarrow\quad 30a_{6}-5a_{5}+a_{2}=0,
a_{6}=\frac{5a_{5}-a_{2}}{30}.
Substituindo a_{5}=(-5a_{1}-2a_{0})/120 e a_{2}=a_{1}/2,
5a_{5}=\frac{-5a_{1}-2a_{0}}{24},\quad 5a_{5}-a_{2}=\frac{-17a_{1}-2a_{0}}{24},
\boxed{a_{6}=\frac{-17a_{1}-2a_{0}}{720}.}
Esses cálculos mostram como proceder recursivamente para obter mais termos.

Passo 5

Agora escrevo a série solução até ordem x^{6}, separando as contribuições multiplicativas de a_{0} e a_{1}. Usando os coeficientes encontrados:
Coeficientes dependentes de a_{0}:
  • x^{0}: a_{0}.
  • x^{4}: contribuição de a_{4} contém -2a_{0}/24=-a_{0}/12.
  • x^{5}: contribuição de a_{5} contém -2a_{0}/120=-a_{0}/60.
  • x^{6}: contribuição de a_{6} contém -2a_{0}/720=-a_{0}/360.
Coeficientes dependentes de a_{1}:
  • x^{1}: a_{1}.
  • x^{2}: a_{2}=a_{1}/2.
  • x^{3}: a_{3}=a_{1}/6.
  • x^{4}: a_{4} traz a_{1}/24.
  • x^{5}: a_{5} traz -5a_{1}/120=-a_{1}/24.
  • x^{6}: a_{6} traz -17a_{1}/720.
Portanto, até O(x^{7}),
y=a_{0}\Big(1-\tfrac{1}{12}x^{4}-\tfrac{1}{60}x^{5}-\tfrac{1}{360}x^{6}+\cdots\Big) + a_{1}\Big(x+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{24}x^{4}-\tfrac{1}{24}x^{5}-\tfrac{17}{720}x^{6}+\cdots\Big).
Isto pode ser escrito como combinação linear das duas soluções fundamentais (escolhendo a_{0}=C_{1},\,a_{1}=C_{2}). A relação de recorrência indicada no Passo 3 permite gerar todos os termos necessários para maior precisão.

Resposta

y=a_{0}\Big(1-\tfrac{1}{12}x^{4}-\tfrac{1}{60}x^{5}-\tfrac{1}{360}x^{6}+\cdots\Big) + a_{1}\Big(x+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{24}x^{4}-\tfrac{1}{24}x^{5}-\tfrac{17}{720}x^{6}+\cdots\Big)

Exercícios relacionados