Find a power series solution in powers of (x). Show the details.
(y^{\prime \prime}-y{\prime}+x{2} y=0)
(y^{\prime \prime}-y{\prime}+x{2} y=0)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
, logo existe solução em série de potências centrada em . - Deve-se expressar
como série em potências de e obter a relação de recorrência entre os coeficientes, depois determinar os primeiros coeficientes em termos das constantes iniciais (os dois graus de liberdade da solução).
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências centrada em
:
onde
são constantes a determinar. Vou calcular
e
e reindexar para ter todas as séries em potências
.
Derivando termo a termo:
Também:
onde, por convenção,
.
Passo 3
Substituo
na equação
. Juntando as séries em potências de
obtemos
Como a série é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo
vale a relação de recorrência
Isolando
,
Esta é a relação que permite calcular todos os
a partir de
e
(constantes de integração).
Passo 4
Agora calculemos explicitamente os primeiros coeficientes em termos de
e
.
- Para
:
logo
- Para
:
logo, usando
,
- Para
:
logo, substituindo
,
- Para
:
logo
Substituindo
,
- Para
:
Substituindo
e
,
Esses cálculos mostram como proceder recursivamente para obter mais termos.
Passo 5
Agora escrevo a série solução até ordem
, separando as contribuições multiplicativas de
e
. Usando os coeficientes encontrados:
Coeficientes dependentes de
:
-
: . -
: contribuição de contém . -
: contribuição de contém . -
: contribuição de contém .
Coeficientes dependentes de
:
-
: . -
: . -
: . -
: traz . -
: traz . -
: traz .
Portanto, até
,
Isto pode ser escrito como combinação linear das duas soluções fundamentais (escolhendo
). A relação de recorrência indicada no Passo 3 permite gerar todos os termos necessários para maior precisão.