Find a power series solution in powers of (x). Show the details.
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}+x y=0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: encontrar uma solução em série de potências em torno de x=0 para a equação diferencial
y''-y'+x\,y=0.
  • Informações fornecidas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em x=0. Isso permite procurar soluções na forma de série de potências em x.

Passo 2

Assumir uma série de potências e calcular derivadas (explicando a ideia).
  • Ideia: vamos supor que a solução é uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n são constantes desconhecidas que vamos determinar. Isso funciona porque a equação tem coeficientes polinomiais, então a solução é analítica em 0 e pode ser representada por uma série.
  • Derivadas term-a-term (regra: derivada de a_n x^n é n a_n x^{n-1}):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Obs.: nas formas finais fizemos mudança de índice para escrever todas as séries como potências x^n com o mesmo expoente n.

Passo 3

Substituir as séries na equação e juntar termos de mesma potência.
  • Substituição:
y''-y'+x y =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1} x^{n} +\;x\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}.
  • Escrever o último termo também como série em x^n. Como x\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=\sum_{n=0}^\infty a_{n-1} x^n com a convenção a_{-1}=0. Portanto todas as somas têm agora a mesma potência x^n:
\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+a_{n-1}\Big]x^{n}=0.
  • Para que a soma seja identicamente zero, o coeficiente de cada x^n deve ser zero. Assim obtemos a relação de recorrência.

Passo 4

Obter a relação de recorrência entre coeficientes.
  • Igualando coeficientes:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+a_{n-1}=0,\qquad n\ge 0,
com a_{-1}=0.
  • Isolando a_{n+2}:
a_{n+2}=\frac{(n+1)a_{n+1}-a_{n-1}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 0.
  • Essa fórmula dá a_{n+2} em termos de a_{n+1} e a_{n-1}; é uma recorrência de ordem 2 que liga coeficientes com saltos de índice ímpar/par.

Passo 5

Condições iniciais e interpretação: variáveis livres.
  • Como a equação é de segunda ordem, a_0 e a_1 são livres (constantes arbitrárias). Todos os demais a_n são determinados por a_0 e a_1 usando a recorrência.
  • Vamos calcular os primeiros coeficientes explicitamente para ver o padrão. Usaremos a recorrência com n=0,1,2,3,4.
Para n=0:
2\cdot1\;a_2 -1\cdot a_1 + a_{-1}=0\quad\Rightarrow\quad 2a_2-a_1=0,
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a_2=\frac{a_1}{2}.
Para n=1:
3\cdot2\;a_3 -2 a_2 + a_0=0\quad\Rightarrow\quad 6a_3-2a_2+a_0=0,
substituindo a_2=\dfrac{a_1}{2}:
6a_3-2\cdot\frac{a_1}{2}+a_0=0\quad\Rightarrow\quad 6a_3-a_1+a_0=0,
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a_3=\frac{a_1-a_0}{6}.
Para n=2:
4\cdot3\;a_4 -3 a_3 + a_1=0\quad\Rightarrow\quad 12a_4-3a_3+a_1=0,
substituindo a_3=\dfrac{a_1-a_0}{6}:
12a_4-3\cdot\frac{a_1-a_0}{6}+a_1=0\quad\Rightarrow\quad 12a_4-\frac{a_1-a_0}{2}+a_1=0,
12a_4=\frac{a_1-a_0}{2}-a_1=\frac{-a_1-a_0}{2},
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a_4=-\frac{a_0+a_1}{24}.
Para n=3:
5\cdot4\;a_5 -4 a_4 + a_2=0\quad\Rightarrow\quad 20a_5-4a_4+a_2=0,
substituindo a_4=-\dfrac{a_0+a_1}{24} e a_2=\dfrac{a_1}{2}:
20a_5-4\Big(-\frac{a_0+a_1}{24}\Big)+\frac{a_1}{2}=0
20a_5+\frac{a_0+a_1}{6}+\frac{a_1}{2}=0
20a_5=-\frac{a_0+a_1}{6}-\frac{a_1}{2}=-\frac{a_0+4a_1}{6},
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a_5=-\frac{a_0+4a_1}{120}.
Para n=4:
6\cdot5\;a_6 -5 a_5 + a_3=0\quad\Rightarrow\quad 30a_6-5a_5+a_3=0,
substituindo a_5=-\dfrac{a_0+4a_1}{120} e a_3=\dfrac{a_1-a_0}{6}:
30a_6-5\Big(-\frac{a_0+4a_1}{120}\Big)+\frac{a_1-a_0}{6}=0
30a_6+\frac{a_0+4a_1}{24}+\frac{a_1-a_0}{6}=0
colocando em denominação comum 24:
30a_6+\frac{a_0+4a_1+4(a_1-a_0)}{24}=0
30a_6+\frac{3a_0-8a_1}{24}=0
30a_6=-\frac{3a_0-8a_1}{24}=\frac{8a_1-3a_0}{24},
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a_6=\frac{8a_1-3a_0}{720}=\frac{3a_0-8a_1}{-720},
que podemos escrever como
a_6=\frac{3a_0-8a_1}{720}.

Passo 6

Construir as duas soluções fundamentais (separando escolhas de a_0,a_1) e escrever a série até termos alguns termos.
  • Tomando as constantes iniciais independentes a_0=C_1 e a_1=C_2, a solução geral é
y(x)=C_1 y^{(1)}(x)+C_2 y^{(2)}(x),
onde y^{(1)} corresponde a a_0=1,a_1=0 e y^{(2)} corresponde a a_0=0,a_1=1.
  • Calculando as séries com os coeficientes encontrados:
Para y^{(1)} ( a_0=1,a_1=0):
a_0=1,\\ a_1=0,\\ a_2=0,\\ a_3=-\tfrac{1}{6},\\ a_4=-\tfrac{1}{24},\\ a_5=-\tfrac{1}{120},\\ a_6=\tfrac{1}{240},\ldots
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y^{(1)}(x)=1-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{240}x^6+\cdots.
Para y^{(2)} ( a_0=0,a_1=1):
a_0=0,\\ a_1=1,\\ a_2=\tfrac{1}{2},\\ a_3=\tfrac{1}{6},\\ a_4=-\tfrac{1}{24},\\ a_5=-\tfrac{1}{30},\\ a_6=-\tfrac{1}{90},\ldots
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y^{(2)}(x)=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{30}x^5-\frac{1}{90}x^6+\cdots.
  • Observação didática: a recorrência pode ser usada para obter quantos termos forem necessários na prova; a_0 e a_1 são os parâmetros livres que geram as duas soluções independentes.

Resposta

y(x)=C_1\Big(1-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{240}x^6+\cdots\Big) +C_2\Big(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{30}x^5-\frac{1}{90}x^6+\cdots\Big),
onde os coeficientes restantes são obtidos pela recorrência
a_{n+2}=\frac{(n+1)a_{n+1}-a_{n-1}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge0,
com a_0=C_1 e a_1=C_2.

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