Find a power series solution in powers of (x). Show the details.
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}+x y=0)
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}+x y=0)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: encontrar uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial
- Informações fornecidas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
. Isso permite procurar soluções na forma de série de potências em .
Passo 2
Assumir uma série de potências e calcular derivadas (explicando a ideia).
- Ideia: vamos supor que a solução é uma série de potências centrada em
:
onde os
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Isso funciona porque a equação tem coeficientes polinomiais, então a solução é analítica em
e pode ser representada por uma série.
- Derivadas term-a-term (regra: derivada de
é ):
Obs.: nas formas finais fizemos mudança de índice para escrever todas as séries como potências
com o mesmo expoente
.
Passo 3
Substituir as séries na equação e juntar termos de mesma potência.
- Substituição:
- Escrever o último termo também como série em
. Como com a convenção . Portanto todas as somas têm agora a mesma potência :
- Para que a soma seja identicamente zero, o coeficiente de cada
deve ser zero. Assim obtemos a relação de recorrência.
Passo 4
Obter a relação de recorrência entre coeficientes.
- Igualando coeficientes:
com
.
- Isolando
:
- Essa fórmula dá
em termos de e ; é uma recorrência de ordem 2 que liga coeficientes com saltos de índice ímpar/par.
Passo 5
Condições iniciais e interpretação: variáveis livres.
- Como a equação é de segunda ordem,
e são livres (constantes arbitrárias). Todos os demais são determinados por e usando a recorrência. - Vamos calcular os primeiros coeficientes explicitamente para ver o padrão. Usaremos a recorrência com
.
Para
:
logo
Para
:
substituindo
:
logo
Para
:
substituindo
:
logo
Para
:
substituindo
e
:
logo
Para
:
substituindo
e
:
colocando em denominação comum
:
logo
que podemos escrever como
Passo 6
Construir as duas soluções fundamentais (separando escolhas de
) e escrever a série até termos alguns termos.
- Tomando as constantes iniciais independentes
e , a solução geral é
onde
corresponde a
e
corresponde a
.
- Calculando as séries com os coeficientes encontrados:
Para
(
):
logo
Para
(
):
logo
- Observação didática: a recorrência pode ser usada para obter quantos termos forem necessários na prova;
e são os parâmetros livres que geram as duas soluções independentes.
Resposta
onde os coeficientes restantes são obtidos pela recorrência
com
e
.