Exercício adicional: Use o polinômio de Taylor de 3a ordem de f(x)=\operatorname{sen}(x) em x=0 para obter um valor aproximado para sen( 0,2 ). Compare com o valor fornecido por uma calculadora
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pedir: usar o polinômio de Taylor de 3ª ordem de f(x)=\operatorname{sen}(x) em x=0 para obter uma aproximação de \operatorname{sen}(0{,}2) e comparar com o valor da calculadora.
Informação dada: a função f(x)=\operatorname{sen}(x) e o ponto de expansão a=0. O valor onde queremos aproximar é x=0{,}2.
Passo 2
O que é o polinômio de Taylor e a forma que vamos usar.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é
Comentário didático: os termos de ordem par desaparecem porque as derivadas pares em 0 são zero para \sin x. Esse é o polinômio que vamos usar para aproximar.
Passo 5
Avaliar P_3(x) em x=0{,}2 de forma exata e decimal.
Primeiro escrevo x como fração para facilitar contas sem calculadora:
Bound mais fino usando |\operatorname{sen}(\xi)|\le|\xi|\le|x|=0{,}2 (válido porque |\xi|\le|x| e para pequenos t vale |\sin t|\le|t|):|R_3(0{,}2)|\le\frac{0{,}2}{24}\,(0{,}2)^4=\frac{0{,}2\cdot0{,}0016}{24}=\frac{0{,}00032}{24}=0{,}000013333\ldots\approx 1{,}3333\cdot10^{-5}.
Conclusão: o erro está certamente abaixo de 7\cdot10^{-5}, e com uma estimativa mais refinada está abaixo de 1{,}4\cdot10^{-5}.
Passo 7
Comparação com o valor da calculadora e cálculo do erro real.
Valor da calculadora (valor real de \sin(0{,}2), usando precisão alta):
Observação: esse erro real é bem menor que os bounds que calculamos, mostrando que a aproximação foi muito boa.
Passo 8
Resumo prático e dica para prova (tomando a postura de um amigo que te anima).
Regra rápida: para pequenos x (por exemplo |x|\le 0{,}3) pode-se usar \operatorname{sen}(x)\approx x-\dfrac{x^3}{6} com erro da ordem de x^5.
No exame, calcule \dfrac{x^3}{6} preferindo escrever x como fração (se for decimal simples) para evitar depender da calculadora. Aqui usar x=\dfrac{1}{5} facilitou tudo.
Fica tranquilo: a aproximação deu um erro de alguns micro-unidades (\sim 2{,}7\cdot10^{-6}), muito pequena para quase todas as aplicações práticas.