Exercício adicional: Use o polinômio de Taylor de 3a ordem de f(x)=\operatorname{sen}(x) em x=0 para obter um valor aproximado para sen( 0,2 ). Compare com o valor fornecido por uma calculadora

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedir: usar o polinômio de Taylor de 3ª ordem de f(x)=\operatorname{sen}(x) em x=0 para obter uma aproximação de \operatorname{sen}(0{,}2) e comparar com o valor da calculadora.
  • Informação dada: a função f(x)=\operatorname{sen}(x) e o ponto de expansão a=0. O valor onde queremos aproximar é x=0{,}2.

Passo 2

O que é o polinômio de Taylor e a forma que vamos usar.
  • A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Aqui:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a.
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=6).
  • P_n(x) é um polinômio de grau \le n que aproxima f(x) perto de a.
  • Forma do resto (Lagrange): existe \xi entre a e x tal que o erro R_n(x)=f(x)-P_n(x) satisfaz
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.
Isso permite estimar o erro da aproximação.

Passo 3

Derivadas de \operatorname{sen}(x) em a=0 até ordem 3.
  • f(x)=\operatorname{sen}(x).
  • f'(x)=\cos(x).
  • f''(x)=-\operatorname{sen}(x).
  • f^{(3)}(x)=-\cos(x).
Agora avalia em a=0:
  • f(0)=\operatorname{sen}(0)=0.
  • f'(0)=\cos(0)=1.
  • f''(0)=-\operatorname{sen}(0)=0.
  • f^{(3)}(0)=-\cos(0)=-1.

Passo 4

Construir o polinômio de Taylor de 3ª ordem em 0.
Usando a fórmula,
P_3(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3.
Substituindo os valores:
P_3(x)=0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-1}{3!}x^3 = x-\frac{x^3}{6}.
Comentário didático: os termos de ordem par desaparecem porque as derivadas pares em 0 são zero para \sin x. Esse é o polinômio que vamos usar para aproximar.

Passo 5

Avaliar P_3(x) em x=0{,}2 de forma exata e decimal.
Primeiro escrevo x como fração para facilitar contas sem calculadora:
x=0{,}2=\frac{1}{5}.
Calcule x^3:
x^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}=0{,}008.
Agora
\frac{x^3}{6}=\frac{1}{125}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{750}=0{,}001333\ldots
Portanto
P_3(0{,}2)=\frac{1}{5}-\frac{1}{750}=\frac{150}{750}-\frac{1}{750}=\frac{149}{750}.
Em decimal:
\frac{149}{750}=0{,}198666\overline{6}\approx 0{,}1986666667.

Passo 6

Estimativa do erro pelo resto de Lagrange.
Para n=3 e expansão em 0,
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4
para algum \xi entre 0 e x. Como f^{(4)}(t)=\operatorname{sen}(t), temos
|R_3(x)|=\left|\frac{\operatorname{sen}(\xi)}{24}x^4\right|\le\frac{|\operatorname{sen}(\xi)|}{24}|x|^4.
Duas maneiras de bound:
  • Bound bruto usando |\operatorname{sen}(\xi)|\le 1: |R_3(0{,}2)|\le\frac{1}{24}\,(0{,}2)^4.Calcule (0{,}2)^4=(0{,}2)^2\cdot(0{,}2)^2=0{,}04\cdot0{,}04=0{,}0016. Então |R_3(0{,}2)|\le\frac{0{,}0016}{24}=0{,}00006666\overline{6}\approx 6{,}6667\cdot10^{-5}.
  • Bound mais fino usando |\operatorname{sen}(\xi)|\le|\xi|\le|x|=0{,}2 (válido porque |\xi|\le|x| e para pequenos t vale |\sin t|\le|t|): |R_3(0{,}2)|\le\frac{0{,}2}{24}\,(0{,}2)^4=\frac{0{,}2\cdot0{,}0016}{24}=\frac{0{,}00032}{24}=0{,}000013333\ldots\approx 1{,}3333\cdot10^{-5}.
Conclusão: o erro está certamente abaixo de 7\cdot10^{-5}, e com uma estimativa mais refinada está abaixo de 1{,}4\cdot10^{-5}.

Passo 7

Comparação com o valor da calculadora e cálculo do erro real.
Valor da calculadora (valor real de \sin(0{,}2), usando precisão alta):
\operatorname{sen}(0{,}2)\approx 0{,}198669330795\ldots
Nosso polinômio deu P_3(0{,}2)=0{,}198666666666\ldots
Diferença (erro real):
\text{erro}=\operatorname{sen}(0{,}2)-P_3(0{,}2)\approx 0{,}198669330795-0{,}198666666667\approx 0{,}000002664128\approx 2{,}66\cdot10^{-6}.
Observação: esse erro real é bem menor que os bounds que calculamos, mostrando que a aproximação foi muito boa.

Passo 8

Resumo prático e dica para prova (tomando a postura de um amigo que te anima).
  • Regra rápida: para pequenos x (por exemplo |x|\le 0{,}3) pode-se usar \operatorname{sen}(x)\approx x-\dfrac{x^3}{6} com erro da ordem de x^5.
  • No exame, calcule \dfrac{x^3}{6} preferindo escrever x como fração (se for decimal simples) para evitar depender da calculadora. Aqui usar x=\dfrac{1}{5} facilitou tudo.
  • Fica tranquilo: a aproximação deu um erro de alguns micro-unidades ( \sim 2{,}7\cdot10^{-6}), muito pequena para quase todas as aplicações práticas.

Resposta

P_3(0{,}2)=\frac{149}{750}\approx 0{,}1986666667
\operatorname{sen}(0{,}2)\approx 0{,}198669330795
\text{erro}=\operatorname{sen}(0{,}2)-P_3(0{,}2)\approx 0{,}000002664128

Exercícios relacionados