Find the amount of saturated steam at 270.1 kPa required to heat 100 kg of cans from 50^{\circ} \mathrm{C} to 121^{\circ} \mathrm{C}, if the heat capacity of the cans is 3.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a massa de vapor saturado à pressão de 270{,}1\\ \mathrm{kPa} necessária para aquecer 100\\ \mathrm{kg} de latas de 50^\circ\mathrm{C} até 121^\circ\mathrm{C}.\n
Informações dadas:
m_{\text{latas}} = 100\\ \mathrm{kg},
c_{\text{latas}} = 3{,}5\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)},
T_1 = 50^\circ\mathrm{C},\quad T_2 = 121^\circ\mathrm{C},
p_{\text{vapor}} = 270{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Pergunta pedida: calcular a massa de vapor saturado m_{\text{vapor}} necessária. Nada mais foi pedido (por exemplo, não foi pedido considerar resfriamento do condensado), então vamos assumir a hipótese usual: o vapor saturado condensa e libera o calor latente por kg dado por h_{fg} na pressão dada; esse calor é usado para aquecer as latas.

Passo 2

Calcular a energia (calor) necessária para aquecer as latas (senso térmico): a fórmula é a conhecida
Q = m_{\text{latas}}\; c_{\text{latas}}\; \Delta T,
onde \Delta T = T_2 - T_1 é a elevação de temperatura. Explicando: c é a capacidade térmica mássica (energia necessária para elevar 1 kg em 1^\circ\mathrm{C}), m é a massa em kg e Q fica em kJ quando c está em kJ/(kg·°C).\n
Calculemos \Delta T:
\Delta T = 121 - 50 = 71\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora calculamos Q:
Q = 100\cdot 3{,}5 \cdot 71.
Façamos a conta passo a passo: 3{,}5\cdot 71 = 248{,}5. Então
Q = 100\cdot 248{,}5 = 24\,850\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: precisamos de 24{,}850\\ \mathrm{kJ} para aquecer as 100 kg de latas de 50^\circ\mathrm{C} a 121^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Explicar como o vapor entrega energia: quando vapor saturado condensa, ele libera por kilogramas o calor latente de vaporização h_{fg} correspondente à pressão (ou temperatura) de saturação. A unidade de h_{fg} é \mathrm{kJ/kg}. Se cada kg de vapor fornecer h_{fg} kJ, a massa necessária de vapor para fornecer Q kJ é
m_{\text{vapor}} = \frac{Q}{h_{fg}}.
Observação didática: se o condensado fosse também resfriado de sua temperatura de saturação até 121^\circ\mathrm{C}, poderíamos somar o calor liberado pelo resfriamento do líquido; aqui adotamos a hipótese padrão de que o calor disponível por kg de vapor é dominado pelo h_{fg} na pressão dada (problemas de prova normalmente usam somente h_{fg}).

Passo 4

Obter h_{fg} para vapor saturado à pressão de 270{,}1\\ \mathrm{kPa}. Eu consultei (peguei) o valor nas tabelas de vapor saturado: para p=270{,}1\\ \mathrm{kPa} a temperatura de saturação é aproximadamente 132{,}9^\circ\mathrm{C} e o calor latente de vaporização é aproximadamente
h_{fg} \approx 2\,173\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Obs.: em tabelas comerciais esse valor pode aparecer como 2{,}17\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/kg}; pequenas variações ocorrem conforme a tabela, mas esta é a ordem de grandeza correta.)

Passo 5

Calcular a massa de vapor usando a fórmula do Passo 3 com os valores numéricos:
m_{\text{vapor}} = \frac{Q}{h_{fg}} = \frac{24\,850}{2\,173}.
Agora a divisão (mostrando o passo):
\frac{24\,850}{2\,173}\approx 11{,}44\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: são necessários cerca de 11{,}44\\ \mathrm{kg} de vapor saturado a 270{,}1\\ \mathrm{kPa} para fornecer os 24{,}850\\ \mathrm{kJ} necessários para aquecer as latas.

Passo 6

Verificação rápida e comentário prático: se em sua tabela h_{fg} tiver valor ligeiramente diferente (por exemplo 2{,}150 ou 2{,}200\\ \mathrm{kJ/kg}), o resultado muda pouco (da ordem de décimos de kg). Além disso, se o condensado for resfriado ou se houver perdas, a quantidade real de vapor necessária aumenta; em prova, normalmente usa-se o cálculo ideal feito acima.

Resposta

11{,}44\\ \mathrm{kg}

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