Find the area of the region enclosed by one loop of the curve.
19. r=3 cos 5 theta

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da curva em coordenadas polares
r = 3cos(5theta),
que é uma “rosa” de 5 pétalas. Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2,dtheta

Passo 2

Precisamos achar os limites theta1,theta2 que definem um único laço, ou seja, onde r vai de zero até voltar a zero.
r=0iff cos(5theta)=0iff 5theta=pi2+kpi
Tomando o laço em torno de theta=0, temos
5theta = -pi2e 5theta = +pi2,
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theta1 = -pi10, theta2 = pi10

Passo 3

Substituindo na fórmula de área:
A = 12 integral-pi/10^pi/10 l(3cos(5theta)r)^2 dtheta = 12cdot 9 integral-pi/10^pi/10 cos^2(5theta),dtheta = 92 integral-pi/10^pi/10 cos^2(5theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade
cos^2(5theta) = 1 + cos(10theta)2,
então
integral-pi/10^pi/10 cos^2(5theta),dtheta = integral-pi/10^pi/10 1 + cos(10theta)2,dtheta = 12l[theta + tfrac110sin(10theta)r]-pi/10^pi/10

Passo 5

Avaliando entre theta=-pi/10 e theta=pi/10:
l[theta + tfrac110sin(10theta)r]-pi/10^pi/10 = l(tfracpi10+0r)-l(-tfracpi10+0r) = pi5
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integral-pi/10^pi/10 cos^2(5theta),dtheta = 12cdotpi5 = pi10
Substituindo em A:
A = 92cdot pi10 = 9pi20

Resposta

A área de um laço da curva r=3cos(5theta) é
boxed9pi20

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