Find the center of mass of a lamina in the shape of an isosceles right triangle with equal sides of length a if the density at any point is proportional to the square of the distance from the vertex opposite the hypotenuse.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina triangular retângula isósceles de catetos de comprimento a, com densidade proporcional ao quadrado da distância ao vértice oposto à hipotenusa (ou seja, o vértice do ângulo reto). Vamos usar as fórmulas gerais de massa e momentos: M=integral duplaRrho,dA, bar x=1Mintegral duplaR xrho,dA e bar y=1Mintegral duplaR yrho,dA. Adotamos o sistema de coordenadas com o vértice reto em (0,0), os catetos sobre os eixos e a região R definida por 0<= x<= a, 0<= y<= a-x. A densidade é rho(x,y)=kl(x^2+y^2r).

Passo 2

Montamos a integral dupla para a massa da lâmina:
M = k integral0^a integral0^a - x l(x^2 + y^2r) ,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna e depois a externa:
integral0^a - x l(x^2 + y^2r) ,dy = x^2(a - x) + (a - x)^33
M = k integral0^a [x^2(a - x) + (a - x)^33] dx = k l(a^412 + a^412r) = k a^46

Passo 4

Agora o momento em relação ao eixo y (para achar bar x) é
My = k integral0^a integral0^a - x xl(x^2 + y^2r) ,dy,dx

Passo 5

Integral interna:
integral0^a - x xl(x^2 + y^2r) dy = x^3(a - x) + x(a - x)^33
My = k integral0^a [x^3(a - x) + x(a - x)^33] dx = k l(a^520 + a^560r) = k a^515

Passo 6

Calculamos agora as coordenadas do centro de massa:
Pelo momento em y, temos
bar x = MyM = k a^515k a^46 = 615a = 2a5
Por simetria (troca de x por y), também bar y=bar x=2a/5.

Resposta

l(tfrac2a5,,tfrac2a5r)

Exercícios relacionados