Find the center of mass of a lamina in the shape of an isosceles right triangle with equal sides of length
if the density at any point is proportional to the square of the distance from the vertex opposite the hypotenuse.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina triangular retângula isósceles de catetos de comprimento
, com densidade proporcional ao quadrado da distância ao vértice oposto à hipotenusa (ou seja, o vértice do ângulo reto). Vamos usar as fórmulas gerais de massa e momentos:
,
e
. Adotamos o sistema de coordenadas com o vértice reto em
, os catetos sobre os eixos e a região
definida por
,
. A densidade é
.
Passo 2
Montamos a integral dupla para a massa da lâmina:
Passo 3
Calculamos primeiro a integral interna e depois a externa:
Passo 4
Agora o momento em relação ao eixo
(para achar
) é
Passo 5
Integral interna:
Passo 6
Calculamos agora as coordenadas do centro de massa:
Pelo momento em
, temos
Por simetria (troca de
por
), também
.