The boundary of a lamina consists of the semicircles y=raiz1-x^2 and y=raiz4-x^2 together with the portions of the x-axis that join them. Find the center of mass of the lamina if the density at any point is proportional to its distance from the origin.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina limitada pelas semicircunferências y=raiz1-x^2, y=raiz4-x^2 e pelos trechos do eixo x que conectam essas curvas. A densidade é proporcional à distância ao origem, ou seja rho(x,y)=k,r. Vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto é (r,theta) com x=rcostheta, y=rsintheta. A região fica com 1<= r<=2 e 0<=theta<=pi. Também temos rho=k,r e dA=r,dr,dtheta.

Passo 3

A massa total é dada por M=integral duplaRrho,dA. Em polares:
M = kintegral0^piintegral1^2 rcdot r,dr,dtheta = kintegral0^piintegral1^2 r^2,dr,dtheta = kintegral0^pi 73,dtheta = k7pi3

Passo 4

O momento em relação ao eixo x é My=integral duplaR y,rho,dA. Em polares temos y=rsintheta e rho,dA=k,r^2,dr,dtheta, logo:
My = kintegral0^piintegral1^2 rsinthetacdot r^2,dr,dtheta = kintegral0^pisintheta,dtheta integral1^2 r^3,dr = kcdot2cdot154 = k152

Passo 5

Por simetria em relação ao eixo y, bar x=0. O valor de bar y é
bar y = MyM = ktfrac152ktfrac7pi3 = 152cdot37pi = 4514pi

Resposta

(0,4514pi)

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