The boundary of a lamina consists of the semicircles
and
together with the portions of the
-axis that join them. Find the center of mass of the lamina if the density at any point is proportional to its distance from the origin.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina limitada pelas semicircunferências
,
e pelos trechos do eixo
que conectam essas curvas. A densidade é proporcional à distância ao origem, ou seja
. Vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, cada ponto é
com
,
. A região fica com
e
. Também temos
e
.
Passo 3
A massa total é dada por
. Em polares:
Passo 4
O momento em relação ao eixo
é
. Em polares temos
e
, logo:
Passo 5
Por simetria em relação ao eixo
,
. O valor de
é