Consider a square fan blade with sides of length 2 and the lower left corner placed at the origin. If the density of the blade is rho(x, y)=1+0.1 x, is it more difficult to rotate the blade about the x-axis or the y-axis?

Passo 1

A lâmina quadrada fica no primeiro quadrante com vértices em (0,0) e (2,2) e densidade rho(x,y)=1+0.1x. O conteúdo da matéria é momento de inércia de uma lâmina em relação a um eixo, que se define por I=integral duplaArho(x,y),r^2,dA, onde r é a distância de cada ponto ao eixo de rotação.

Passo 2

Para o eixo x, a distância de um ponto (x,y) ao eixo é y. Logo
Ix=integraly=0^2integralx=0^2(1+0.1x),y^2,dx,dy

Passo 3

Calculando primeiro a integral em x:
integral0^2(1+0.1x),dx=2+0.1cdot2^22=2.2,
e então em y:
Ix=2.2integral0^2y^2,dy=2.2cdot2^33=8815

Passo 4

Para o eixo y, a distância de (x,y) ao eixo é x. Logo
Iy=integraly=0^2integralx=0^2(1+0.1x),x^2,dx,dy

Passo 5

Calculando primeiro a integral em x:
integral0^2(x^2+0.1x^3),dx=2^33+0.1cdot2^44=83+0.4=4615,
e então em y:
Iy=2cdot4615=9215

Passo 6

Comparando os resultados, temos Iy=tfrac9215>Ix=tfrac8815, portanto o momento de inércia é maior em torno do eixo y.

Resposta

É mais difícil rotacionar em torno do eixo y, pois Iy=tfrac9215>Ix=tfrac8815.

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