Find the directional derivative of
at the point
in the direction of the vector
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Foi dada a função
- O ponto onde devemos avaliar o derivada direcional é
. - A direção é dada pelo vetor
.
Pergunta: calcular a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 2
Definição e ideia intuitiva — o que é derivada direcional e como vamos calcular.
- Intuitivamente, a derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir de naquela direção. - A definição precisa (que não vamos usar como limite explícito aqui, mas é a ideia) é
- Para funções diferenciáveis, existe uma fórmula prática muito usada em provas: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
no ponto e o vetor unitário da direção. Ou seja,
Aqui
e
é o vetor direção com comprimento
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (o gradiente) — explicando passo a passo.
- A derivada parcial de
em relação a (mantendo fixo) é:
Ao derivar termo a termo:
(pois
é tratado como constante) e
. Logo
- A derivada parcial de
em relação a (mantendo fixo) é:
Ao derivar:
(pois
é constante) e
. Logo
- Portanto o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo
e
nas expressões:
Logo
Passo 5
Converter o vetor de direção em um vetor unitário.
A fórmula exige o vetor unitário
na direção de
. Primeiro calculamos a norma de
:
O vetor unitário é
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar gradiente · vetor unitário.
A derivada direcional é
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Se preferir em decimal,
.
Passo 7
Interpretação final e dica rápida de prova.
- O resultado
significa que, começando em e deslocando-se uma pequena distância na direção de , a função aumenta, para primeiro ordem, à taxa por unidade de deslocamento nessa direção. - Dica de prova: sempre normalize o vetor direção antes de aplicar
. Calcule as parciais com cuidado e avalie no ponto antes de fazer o produto escalar.