Find the directional derivative of
f(x, y)=x^{2} y+y^{3}
at the point (1,2) in the direction of the vector \mathbf{v}=(3,4).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Foi dada a função f(x,y)=x^{2}y+y^{3}.
  • O ponto onde devemos avaliar o derivada direcional é (1,2).
  • A direção é dada pelo vetor \mathbf{v}=(3,4).
Pergunta: calcular a derivada direcional de f em (1,2) na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Definição e ideia intuitiva — o que é derivada direcional e como vamos calcular.
  • Intuitivamente, a derivada direcional de f em (1,2) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de (1,2) naquela direção.
  • A definição precisa (que não vamos usar como limite explícito aqui, mas é a ideia) é
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\lim_{h\to0}\frac{f((1,2)+h\mathbf{u})-f(1,2)}{h}.
  • Para funções diferenciáveis, existe uma fórmula prática muito usada em provas: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f no ponto e o vetor unitário da direção. Ou seja,
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\\ \partial f/\partial y) e \mathbf{u} é o vetor direção com comprimento 1.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (o gradiente) — explicando passo a passo.
  • A derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) é:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y+y^{3}\big).
Ao derivar termo a termo: \partial(x^{2}y)/\partial x=2xy (pois y é tratado como constante) e \partial(y^{3})/\partial x=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy.
  • A derivada parcial de f em relação a y (mantendo x fixo) é:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y+y^{3}\big).
Ao derivar: \partial(x^{2}y)/\partial y=x^{2} (pois x^{2} é constante) e \partial(y^{3})/\partial y=3y^{2}. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+3y^{2}.
  • Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(2xy,\;x^{2}+3y^{2}\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2).
Substituindo x=1 e y=2 nas expressões:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot1\cdot2=4,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1^{2}+3\cdot2^{2}=1+3\cdot4=1+12=13.
Logo
\nabla f(1,2)=(4,13).

Passo 5

Converter o vetor de direção em um vetor unitário.
A fórmula exige o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}. Primeiro calculamos a norma de \mathbf{v}=(3,4):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar gradiente · vetor unitário.
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}=(4,13)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=4\cdot\frac{3}{5}+13\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{5}+\frac{52}{5}=\frac{64}{5}.
Se preferir em decimal, \dfrac{64}{5}=12{,}8.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida de prova.
  • O resultado \dfrac{64}{5} significa que, começando em (1,2) e deslocando-se uma pequena distância na direção de (3,4), a função f aumenta, para primeiro ordem, à taxa \dfrac{64}{5} por unidade de deslocamento nessa direção.
  • Dica de prova: sempre normalize o vetor direção antes de aplicar \nabla f\cdot\mathbf{u}. Calcule as parciais com cuidado e avalie no ponto antes de fazer o produto escalar.

Resposta

\dfrac{64}{5}

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