A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
A função integranda é x y^{2}.
O objetivo é avaliar a integral dupla, ou seja, encontrar o valor numérico de
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy\right)dx.
Passo 2
Breve explicação do que permite calcular essa integral (Fubini) e por que é aplicável:
Fubini diz que, se uma função é integrável (por exemplo, é contínua ou não negativa) num retângulo, então a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada, e a ordem de integração pode ser trocada.
Aqui a função x y^{2} é contínua no retângulo dado, logo é integrável. Assim podemos calcular
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy\,dx
fazendo primeiro a integral interna em y e depois a integral externa em x, ou vice-versa. Vou começar integrando em y (como está escrito).
Passo 3
Calcular a integral interna em y:
A integral interna é \int_{0}^{2} x y^{2}\,dy.
Aqui x é tratado como constante ao integrar em y, então posso fatorar x para fora:
\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy = x\int_{0}^{2} y^{2}\,dy.
Agora calculo \int_{0}^{2} y^{2}\,dy. A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}, então