Use Fubini’s Theorem to evaluate
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
  • A função integranda é x y^{2}.
  • O objetivo é avaliar a integral dupla, ou seja, encontrar o valor numérico de
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy\right)dx.

Passo 2

Breve explicação do que permite calcular essa integral (Fubini) e por que é aplicável:
  • Fubini diz que, se uma função é integrável (por exemplo, é contínua ou não negativa) num retângulo, então a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada, e a ordem de integração pode ser trocada.
  • Aqui a função x y^{2} é contínua no retângulo dado, logo é integrável. Assim podemos calcular
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy\,dx
fazendo primeiro a integral interna em y e depois a integral externa em x, ou vice-versa. Vou começar integrando em y (como está escrito).

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
  • A integral interna é \int_{0}^{2} x y^{2}\,dy.
  • Aqui x é tratado como constante ao integrar em y, então posso fatorar x para fora:
\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy = x\int_{0}^{2} y^{2}\,dy.
  • Agora calculo \int_{0}^{2} y^{2}\,dy. A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}, então
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \left.\dfrac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3}-0=\dfrac{8}{3}.
  • Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{2} x y^{2}\,dy = x\cdot\dfrac{8}{3} = \dfrac{8}{3}x.

Passo 4

Calcular a integral externa em x:
  • Agora integro \dfrac{8}{3}x de x=0 a x=1:
\int_{0}^{1} \dfrac{8}{3}x\,dx = \dfrac{8}{3}\int_{0}^{1} x\,dx.
  • A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}.
  • Portanto
\dfrac{8}{3}\int_{0}^{1} x\,dx = \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}.

Passo 5

Verificação alternativa trocando a ordem (aplicando Fubini para integrar primeiro em x):
  • Troco a ordem e calculo
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} x y^{2}\,dx\,dy.
  • Integrando em x primeiro, y^{2} é constante em relação a x, então
\int_{0}^{1} x y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1} x\,dx = y^{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}y^{2}.
  • Agora integro em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \dfrac{1}{2}y^{2}\,dy = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3},
o mesmo resultado obtido antes. Boa checagem!

Resposta

\dfrac{4}{3}

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