1. Find the distance between the points with polar coordinates (2, pi / 3) and (4,2 pi / 3).
  2. Find a formula for the distance between the points with polar coordinates (r1, theta1) and (r2, theta2).
15-20 Identify the curve by finding a Cartesian equation for the curve.
15. r=2

Passo 1

O enunciado traz três tarefas:
  1. Calcular a distância entre os pontos em coordenadas polares (2,pi/3) e (4,2pi/3).
  2. Derivar a fórmula geral da distância entre dois pontos (r1,theta1) e (r2,theta2) em coordenadas polares.
  3. Identificar em coordenadas cartesianas a curva definida por r=2.
    Para isso vamos usar (a) conversão de polares para cartesianas via x=rcostheta, y=rsintheta, (b) fórmula da distância no plano e identidade trigonométrica cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta, e (c) relação r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Conversons os pontos do exercício 13 em cartesianas:
Para (2,pi/3):
x1 = 2cos!l(tfracpi3r)=2cdottfrac12=1, y1 = 2sin!l(tfracpi3r)=2cdottfracraiz32=raiz3
Para (4,2pi/3):
x2 = 4cos!l(tfrac2pi3r)=4cdotl(-tfrac12r)=-2, y2 = 4sin!l(tfrac2pi3r)=4cdottfracraiz32=2raiz3

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância no plano:
d = raiz(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 =raiz(-2-1)^2 + l(2raiz3-raiz3r)^2 =raiz(-3)^2 + (raiz3)^2 =raiz9+3 =raiz12 =2raiz3

Passo 4

Para a fórmula geral do exercício 14, partimos de
d^2 = (r1costheta1 - r2costheta2)^2 + (r1sintheta1 - r2sintheta2)^2
Expandindo e usando
costheta1costheta2+sintheta1sintheta2=cos(theta1-theta2),
obtemos
d^2 = r1^2 + r2^2 - 2,r1r2cos(theta1-theta2),
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d = raizr1^2 + r2^2 - 2,r1r2cos(theta1-theta2)

Passo 5

Para a curva r=2 do exercício 15, usamos r^2 = x^2 + y^2.
Como r=2, temos
r^2 = 4 Longrightarrow x^2 + y^2 = 4,
que é o círculo de raio 2 centrado na origem.

Resposta

  1. A distância entre (2,pi/3) e (4,2pi/3) é 2raiz3.
  2. A fórmula geral da distância é
d = raizr1^2 + r2^2 - 2,r1r2cos(theta1-theta2)
  1. A equação cartesiana correspondente a r=2 é
x^2 + y^2 = 4

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