- Find the distance between the points with polar coordinates
and
.
- Find a formula for the distance between the points with polar coordinates
and
.
15-20 Identify the curve by finding a Cartesian equation for the curve.
15.
15.
Passo 1
O enunciado traz três tarefas:
- Calcular a distância entre os pontos em coordenadas polares
e . - Derivar a fórmula geral da distância entre dois pontos
e em coordenadas polares. - Identificar em coordenadas cartesianas a curva definida por
.
Para isso vamos usar (a) conversão de polares para cartesianas via, , (b) fórmula da distância no plano e identidade trigonométrica , e (c) relação .
Passo 2
Conversons os pontos do exercício 13 em cartesianas:
Para :
Para
Para
:
Passo 3
Aplicamos a fórmula da distância no plano:
Passo 4
Para a fórmula geral do exercício 14, partimos de
Expandindo e usando
,
obtemos
obtemos
logo
Passo 5
Para a curva
do exercício 15, usamos
.
Como , temos
Como
que é o círculo de raio
centrado na origem.
Resposta
- A distância entre
e é . - A fórmula geral da distância é
- A equação cartesiana correspondente a
é