Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
y^prime=5 y+e^-2 x y^-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
y' = 5,y + e^-2xy^-2
é uma Bernoulli e, sendo, resolvê-la. O conteúdo que vamos usar é a forma padrão da equação de Bernoulli,
y' + p(x),y = q(x),y^n
e a substituição
u = y^1-n,
que transforma essa EDO numa equação linear em u.

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma
y' - 5,y = e^-2x,y^-2
vemos que ela corresponde a
y' + p(x),y = q(x),y^n
com
p(x) = -5, q(x)=e^-2x, n = -2
Portanto é, de fato, uma equação de Bernoulli.

Passo 3

Definimos
u = y^1-n = y^1-(-2) = y^3
Calculamos sua derivada em função de y:
u' = 3,y^2,y'

Passo 4

Multiplicamos a equação original por 3y^2:
3y^2,y' - 15,y^3 = 3,e^-2x
Como 3y^2,y' = u' e y^3 = u, obtemos a EDO linear em u:
u' - 15,u = 3,e^-2x

Passo 5

Para resolver
u' - 15,u = 3,e^-2x,
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -15,dx = e^-15x
Multiplicando a EDO por mu(x) temos
ddxl(u,e^-15xr) = 3,e^-2x,e^-15x = 3,e^-17x
Integramos ambos os lados:
u,e^-15x = integral 3,e^-17x,dx = -317,e^-17x + C
Assim
u = C,e^15x - 317,e^-2x

Passo 6

Voltando à variável original y, lembrando que u = y^3, obtemos
y^3 = C,e^15x - 317,e^-2x,
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y(x) = l(C,e^15x - tfrac317,e^-2xr)^1/3

Resposta

y(x) = l(C,e^15x - tfrac317,e^-2xr)^1/3,
onde C é constante arbitrária.

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