Determine a solução geral.
ddotx+x=e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
ddotx + x = e^-t
Aqui o conteúdo é resolução de equações lineares com coeficientes constantes usando: (1) solução geral da homogênea; (2) método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
ddotxh + xh = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0Longrightarrow r = pm i
Logo a solução geral homogênea é
xh(t) = C1cos t + C2sin t,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular xp(t) da forma
xp(t) = A e^-t,
pois o termo forçante é e^-t e não coincide com as soluções da homogênea. Calculamos
dotxp = -A e^-t, ddotxp = A e^-t
Substituindo em ddotx+x=e^-t
A e^-t + A e^-t = e^-t Longrightarrow 2A e^-t = e^-t Longrightarrow A = tfrac12
Portanto
xp(t) = tfrac12,e^-t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1cos t + C2sin t + tfrac12,e^-t

Resposta

x(t) = C1cos t + C2sin t + tfrac12,e^-t,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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