Find the limit.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)$

Passo 1

O enunciado pede o valor de

\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{9x^{2}+x}\;-\;3x\Bigr).

O conteúdo aqui é limite de uma diferença que tende a

\infty-\infty

, ou seja, uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, que consiste em multiplicar por uma conjugada para simplificar a expressão.

Passo 2

Observamos que tanto

\sqrt{9x^{2}+x}

quanto

3x

crescem sem limite quando

x\to\infty

, gerando a indeterminação

\infty-\infty

. Para eliminar isso, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada

\sqrt{9x^{2}+x}+3x

Passo 3

Multiplicando pelo conjugado, temos

\sqrt{9x^{2}+x}-3x = \frac{\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr)\,\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}+3x\bigr)} {\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{9x^{2}+x - 9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.

Passo 4

No numerador sobra

x

. No denominador, fatoramos

x

dentro da raiz e também fora:

\sqrt{9x^{2}+x} = x\,\sqrt{9 + \frac1x},

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\sqrt{9x^{2}+x}+3x = x\Bigl(\sqrt{9+\tfrac1x}+3\Bigr).

Assim a fração fica

\frac{x}{x\bigl(\sqrt{9+\tfrac1x}+3\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{9+\tfrac1x}+3}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de

x\to\infty

. Como

\tfrac1x\to0

\sqrt{9+\tfrac1x}\;\longrightarrow\;\sqrt{9}=3,

então

\frac{1}{\sqrt{9+\tfrac1x}+3} \;\longrightarrow\;\frac{1}{3+3} =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Find the limit. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)