Find the limit.
$\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} e^{\tan x}$

O enunciado pede calcular

\lim_{x\to(\pi/2)^{+}} e^{\tan x}.

Para isso precisamos saber como

\tan x

se comporta ao nos aproximarmos de

\pi/2

pela direita e usar a continuidade da função exponencial.

Escrevendo

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

, ao fazermos

x\to(\pi/2)^{+}

temos

\sin x\to1

\cos x\to0^{-}

.
Portanto

\tan x \;=\;\frac{\sin x}{\cos x}\;\longrightarrow\;-\infty.

Como a função

y\mapsto e^{y}

é contínua e satisfaz

\lim_{y\to-\infty}e^{y}=0,

segue que

\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}e^{\tan x} =\;e^{\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\tan x} =\;e^{-\infty} =\;0.

0

Find the limit. \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} e^{\tan x}