Find the limits.
\lim _{P \rightarrow(\pi, 0,3)} z e^{-2 y} \cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=z\,e^{-2y}\cos 2x
quando o ponto P=(x,y,z) se aproxima de (\pi,0,3). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e uso da continuidade de funções elementares.

Passo 2

Observamos que f é combinação de operações contínuas (produto, exponencial e cosseno) em todo \mathbb{R}^3. Logo, o limite em (\pi,0,3) coincide com o valor de f naquele ponto.

Passo 3

Substituindo x=\pi, y=0 e z=3 em f,
f(\pi,0,3) =3\;e^{-2\cdot0}\;\cos(2\pi).
Como e^0=1 e \cos(2\pi)=1, resulta
f(\pi,0,3)=3\cdot1\cdot1=3.

Resposta

\displaystyle 3

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