Find the limits.
\lim _{P \rightarrow(0,-2,0)} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{P\to(0,-2,0)}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui temos uma função composta: primeiro a distância de P=(x,y,z) à origem, dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, e em seguida o logaritmo natural dessa distância. Vamos usar a continuidade dessas funções em pontos onde estão bem definidas.

Passo 2

Calculemos primeiro
\lim_{P\to(0,-2,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}+0^{2}} =\sqrt{4} =2.

Passo 3

Como a função \ln t é contínua para t>0 e aqui 2>0, podemos passar o limite para dentro de \ln. Assim,
\lim_{P\to(0,-2,0)}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\ln\biggl(\lim_{P\to(0,-2,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\biggr) =\ln(2).

Resposta

\ln(2)

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