Find the limits.
\lim _{P \rightarrow(3,3,0)}\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} y+\operatorname{sec} ^{2} z\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{P\to(3,3,0)}\bigl(\sin^2 x+\cos^2 y+\operatorname{sec}^2 z\bigr),
que é um limite de função de três variáveis. Vamos usar o fato de que funções trigonométricas elementares são contínuas onde estão definidas.

Passo 2

Verificamos o domínio de cada termo: \sin^2 x e \cos^2 y são contínuas para todo x,y. \operatorname{sec}^2 z exige \cos z\neq0; como \cos0=1, a função está bem definida em z=0.

Passo 3

Pela continuidade e pela soma de funções contínuas,
\lim_{P\to(3,3,0)}\bigl(\sin^2 x+\cos^2 y+\operatorname{sec}^2 z\bigr) =\sin^2(3)+\cos^2(3)+\operatorname{sec}^2(0).

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\sin^2 t+\cos^2 t=1
para t=3, obtendo
\sin^2(3)+\cos^2(3)=1.

Passo 5

Como \operatorname{sec} z=1/\cos z,
\operatorname{sec}^2(0)=\frac{1}{\cos^2(0)}=\frac{1}{1^2}=1.

Passo 6

Somando os resultados,
1 + 1 = 2.

Resposta

2

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