Find varphi LSB (t) and varphi USB (t) for the modulating signal m(t)=B sinc(2 pi B t) with B=1000 and carrier frequency omegac=10,000 pi. Follow these do-it-yourself steps:
© Find the LSB signal varphi LSB (t), which is the inverse Fourier transform of the LSB spectrum found in part (b). Follow a similar procedure to find varphi USB (t).

Passo 1

Beleza, vamos primeiro “desenrolar” o que o exercício pede.
Enunciado em resumo:
– O sinal modulante é
m(t) = B,sinc(2pi B t),
com varphiUSB(t) = m(t),cos(omegac t);-;widehatm(t),sin(omegac t), varphiLSB(t) = m(t),cos(omegac t);+;widehatm(t),sin(omegac t), .
– A portadora tem frequência angular .
Queremos achar as formas de tempo dos sinais SSB:
e .
Conteúdo envolvido: teoria de modulação SSB, transformada de Fourier de sinc, e o uso da transformada de Hilbert para gerar só uma das faixas (LSB ou USB).
O que vamos precisar:
  1. Saber que SSB (banda lateral única) se escreve em tempo como
onde é a transformada de Hilbert de .
2) Conhecer a TF de e a Hilbert de .
A partir do Passo 2 a gente começa a resolver de verdade.

Passo 2

Transformada de Fourier de sinc(2pi B t) = sin(2pi B t)2pi B t .
Definição usada:
m(t) = B,sin(2pi B t)2pi B t = 12,sin(2pi B t)pi t
Então
Fsin(2pi B t)pi t = rect!(omega4pi B) =1,&|omega|<= 2pi B,0,&caso contrário,
Sabendo que
M(omega)=Fm(t) =tfrac12,rect!(tfracomega4pi B) á
segue que
Isso só para confirmar que tem espectro retangular em .

Passo 3

Transformada de Hilbert de Hsin(2pi B t)pi t =1-cos(2pi B t)pi t .
Teorema conhecido:
widehatm(t) =tfrac12;Hsin(2pi B t)pi t =12;1-cos(2pi B t)pi t
Como ,
a transformada de Hilbert é
Explicando rápido: a Hilbert troca retângulo real por retângulo imaginário multiplicado por , e em tempo dá esse .

Passo 4

Aplicar as fórmulas de SSB.
Lembrando:
varphiUSB(t) = m(t)cos(omegac t);-;widehatm(t)sin(omegac t), varphiLSB(t) = m(t)cos(omegac t);+;widehatm(t)sin(omegac t)
Substituindo m(t)=12,sin(2pi B t)pi t, widehatm(t)=12,1-cos(2pi B t)pi t, omegac=10,000pi e :

Resposta

Em notação LaTeX, com boxed varphiUSB(t) &=12,sin(2pi B t)pi t,cos(10,000pi,t) ;-;12,1-cos(2pi B t)pi t,sin(10,000pi,t),[6pt] varphiLSB(t) &=12,sin(2pi B t)pi t,cos(10,000pi,t) ;+;12,1-cos(2pi B t)pi t,sin(10,000pi,t) , temos:

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