You are asked to design a DSB-SC modulator to generate a modulated signal
, where
é um sinal limitado a banda de
. Figure P4.2-4 shows a DSB-SC modulator disponível no estoque. O gerador de portadora disponível gera não
, mas
. Explique se você seria capaz de gerar o sinal desejado usando apenas este equipamento. Você pode usar qualquer tipo de filtro que desejar.
(e) Would this scheme work if the carrier generator output were
for any integer
?
(e) Would this scheme work if the carrier generator output were
Passo 1
Beleza, o que a questão tá pedindo é: a gente quer um modulador DSB-SC que dê o sinal
onde
é limitado a banda
. O equipamento que a gente tem multiplica
pela portadora, mas a portadora não é
, é
. A pergunta principal é: dá pra usar só esse gerador de
mais filtros quaisquer pra acabar com um
e gerar
?
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Identidade trigonométrica para
. - Como a modulação DSB-SC funciona (multiplicação em tempo gera deslocamento de espectro).
- Uso de filtro passa-banda para selecionar a componente certa.
- Ajuste de ganho pra chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a identidade trigonométrica que a gente precisa:
Isso significa que, se o gerador te dá
, ele na verdade tem duas componentes em frequência:
- uma em
com peso , - e outra em
com peso .
Passo 3
Quando a gente multiplica
por
, o sinal modulado vira
Em termos de espectro, isso desloca o espectro de
para
(com ganho
) e para
(com ganho
).
Passo 4
Agora, como a gente só quer a banda em
, basta usar um filtro passa-banda centrado em
que
- atenue fortemente tudo em torno de
, - e deixe passar a banda
ao redor de .
Depois desse filtro, o sinal vira
Só falta ajustar o ganho para chegar em
. Se a gente colocar um amplificador com ganho
, o resultado final é
exatamente o que queríamos.
Passo 5
Agora, e se o gerador fosse
com
inteiro? A gente usa a fórmula geral da expansão de
(pela binomial de Euler ou pelo teorema de De Moivre) e vê que:
- Se
for ímpar, a expansão inclui um termo proporcional a . - Se
for par, todos os termos são : não aparece .
Logo, só funciona a mesma ideia quandoé ímpar: aí tem componente em , a gente filtra e amplifica. Se for par, não surge nenhum na expansão, então não dá pra gerar .
Resposta
Sim, dá pra gerar
usando o gerador de
:
- multiplica
pelo sinal disponível, - passa por filtro passa-banda centrado em
(seleciona o termo ), - aplica ganho
.
Para
, a mesma receita só funciona se
for ímpar (porque aí aparece um termo em
na expansão); se
for par, não há componente em
e o esquema falha.