You are asked to design a DSB-SC modulator to generate a modulated signal k m(t) cos omegac t, where m(t) é um sinal limitado a banda de B Hz. Figure P4.2-4 shows a DSB-SC modulator disponível no estoque. O gerador de portadora disponível gera não cos omegac t, mas cos ^3 omegac t. Explique se você seria capaz de gerar o sinal desejado usando apenas este equipamento. Você pode usar qualquer tipo de filtro que desejar.
(e) Would this scheme work if the carrier generator output were cos ^n omegac t for any integer n >= 2 ?

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo é: a gente quer um modulador DSB-SC que dê o sinal
s(t) = k,m(t),cosomegac t,
onde é limitado a banda . O equipamento que a gente tem multiplica pela portadora, mas a portadora não é , é . A pergunta principal é: dá pra usar só esse gerador de mais filtros quaisquer pra acabar com um e gerar ?
Conteúdo envolvido:
  1. Identidade trigonométrica para .
  2. Como a modulação DSB-SC funciona (multiplicação em tempo gera deslocamento de espectro).
  3. Uso de filtro passa-banda para selecionar a componente certa.
  4. Ajuste de ganho pra chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a identidade trigonométrica que a gente precisa:
cos^3theta ;=;34costheta ;+;14cos(3theta)
Isso significa que, se o gerador te dá , ele na verdade tem duas componentes em frequência:
  • uma em com peso ,
  • e outra em com peso .

Passo 3

Quando a gente multiplica m(t),cos^3omegac t = m(t),l(tfrac34cosomegac t + tfrac14cos3omegac tr) = 34,m(t)cosomegac t ;+;14,m(t)cos3omegac t por , o sinal modulado vira
Em termos de espectro, isso desloca o espectro de para (com ganho ) e para (com ganho ).

Passo 4

Agora, como a gente só quer a banda em 34;m(t),cosomegac t , basta usar um filtro passa-banda centrado em k,m(t),cosomegac t, que
  • atenue fortemente tudo em torno de ,
  • e deixe passar a banda ao redor de .
    Depois desse filtro, o sinal vira
Só falta ajustar o ganho para chegar em . Se a gente colocar um amplificador com ganho , o resultado final é
exatamente o que queríamos.

Passo 5

Agora, e se o gerador fosse com inteiro? A gente usa a fórmula geral da expansão de (pela binomial de Euler ou pelo teorema de De Moivre) e vê que:
  • Se for ímpar, a expansão inclui um termo proporcional a .
  • Se for par, todos os termos são : não aparece .
    Logo, só funciona a mesma ideia quando é ímpar: aí tem componente em , a gente filtra e amplifica. Se for par, não surge nenhum na expansão, então não dá pra gerar .

Resposta

Sim, dá pra gerar usando o gerador de :
  1. multiplica pelo sinal disponível,
  2. passa por filtro passa-banda centrado em (seleciona o termo ),
  3. aplica ganho .
Para , a mesma receita só funciona se for ímpar (porque aí aparece um termo em na expansão); se for par, não há componente em e o esquema falha.

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