Um fio de 15,8 \mathrm{~m} de comprimento tem uma resistência de 935 ohm. Uma diferença de potencial de 35,8 \mathrm{~V} é mantida entre suas extremidades. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é o campo elétrico no fio? (c) Supondo um intervalo médio entre colisões típico, \tau \sim 10^{-14} s, estime a velocidade de arrasto dos elétrons de condução. R: (a) 0,0383 \mathrm{~A}; (b) 2,27 \mathrm{~V} / \mathrm{m}; (c) \sim 4 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um fio com comprimento \;L=15{,}8\\ \mathrm{m}\;, resistência \;R=935\\ \Omega\; e uma diferença de potencial mantida entre as extremidades \;V=35{,}8\\ \mathrm{V}\;. Pede-se:
(a) a corrente no fio;
(b) o campo elétrico no fio;
(c) estimar a velocidade de arrasto dos elétrons de condução supondo \;\tau\sim 10^{-14}\\ \mathrm{s}\;.
Valores físicos que usarei: carga do elétron \;e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\; e massa do elétron \;m=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\;.

Passo 2

(a) Cálculo da corrente usando a lei de Ohm. Explicação: a lei de Ohm diz que a corrente elétrica \;I\; em um condutor ôhmico é a razão entre a diferença de potencial aplicada \;V\; e a resistência \;R\;. Fórmula:
I=\frac{V}{R}.
Aqui \;I\; é a corrente (em ampère), \;V\; é a tensão (em volt) e \;R\; é a resistência (em ohm). Agora substituo os números:
I=\frac{35{,}8}{935}.
Faço a divisão: \;35{,}8/935\approx 0{,}038279...\\ \mathrm{A}. Arredondando sensivelmente, obtenho \;I\approx 0{,}0383\\ \mathrm{A}.

Passo 3

(b) Cálculo do campo elétrico no fio. Explicação: se o fio é longo e o campo é aproximadamente uniforme ao longo do comprimento, a relação entre a diferença de potencial e o campo é
E=\frac{V}{L},
onde \;E\; é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}), \;V\; a tensão e \;L\; o comprimento. Substituindo:
E=\frac{35{,}8}{15{,}8}.
Faço a divisão: \;35{,}8/15{,}8\approx 2{,}2658\\ \mathrm{V/m}. Arredondando razoavelmente, \;E\approx 2{,}27\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

(c) Estimativa da velocidade de arrasto (drift) dos elétrons usando o modelo de Drude. Explicação didática: no modelo clássico de condução (Drude) um elétron sofre acelerações devido ao campo elétrico entre colisões e perde velocidade média nas colisões. Tomando \;\tau\; como o tempo médio entre colisões, a velocidade de arrasto em regime estacionário vem da relação
v_d=\frac{eE\tau}{m}.
Aqui \;v_d\; é a velocidade média de arrasto (magnitude), \;e\; é a carga do elétron, \;E\; o campo elétrico, \;\tau\; o tempo médio entre colisões, e \;m\; a massa do elétron. Observação sobre o sinal: o elétron tem carga negativa, então sua velocidade média está oposta ao campo; aqui estamos calculando a magnitude \;|v_d|\;.

Passo 5

Aplicando a fórmula numérica com \;E\approx 2{,}2658\\ \mathrm{V/m}\; e \;\tau=10^{-14}\\ \mathrm{s}\;:
v_d=\frac{(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})(2{,}2658\\ \mathrm{V/m})(1{,}0\times10^{-14}\\ \mathrm{s})}{9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}.
Calculo passo a passo em notação científica: o numerador é aproximadamente
1{,}602\times10^{-19}\times 2{,}2658\times 10^{-14}\approx 3{,}63\times10^{-33},
então
v_d\approx\frac{3{,}63\times10^{-33}}{9{,}11\times10^{-31}}\approx 3{,}99\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para milímetros por segundo: 3{,}99\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}=3{,}99\\ \mathrm{mm/s}, que é cerca de \;4\\ \mathrm{mm/s} (aproximação conveniente).

Resposta

(a) 0{,}0383\\ \mathrm{A}
(b) 2{,}27\\ \mathrm{V/m}
(c) \sim 4\\ \mathrm{mm/s}

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