1. Um solenoide de L=30,0 c m e 2,00 c m de raio é enrolado na forma de um toróide. Obtenha o valor do raio interno e do raio externo do toróide formado (dica: o eixo cilíndrico do solenoide vira um círculo de comprimento L ). O solenoide tinha um enrolamento de 1200 loops pelo qual passava uma corrente de 1,00 \mathrm{~A}, qual era a magnitude do campo B no seu interior? Qual é a magnitude do campo B no centro da seção reta circular do toróide (supondo mesma corrente pelo enrolamento)? Pode usar os resultados dos solenoides e toróides ideais. Resp: r_{\text {in }} \approx 2,77 \mathrm{~cm} ; r_{\text {out }} \approx 6,77 \mathrm{~cm} ; B_{\text {solen }} \approx 5,03 m T ; B_{\text {toroi }}( centro )=B_{\text {solen }}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Obter o raio interno e o raio externo do toróide formado ao enrolar o solenoide.
  2. Calcular a magnitude do campo magnético B no interior do solenoide original.
  3. Calcular a magnitude do campo magnético B no centro da seção reta circular do toróide (supondo mesma corrente).
Informações dadas (pegar do enunciado):
  • Comprimento do solenoide: L = 30,0\\ \mathrm{cm}.
  • Raio (da seção circular) do solenoide: a = 2,00\\ \mathrm{cm}. (isto é, o raio do “tubo” do solenoide, que vira a semi‑espessura do toróide)
  • Número de voltas: N = 1200.
  • Corrente: I = 1,00\\ \mathrm{A}.
  • Dica do enunciado: o eixo cilíndrico do solenoide vira um círculo de comprimento L, ou seja a circunferência média do toróide tem comprimento L.

Passo 2

Primeiro calculemos o raio médio do toróide, que chamo de r_{\text{m}}. A condição da dica é que a circunferência média do toróide vale L, logo:
2\pi r_{\text{m}} = L.
Isolando r_{\text{m}} obtemos:
r_{\text{m}} = \frac{L}{2\pi}.
Vamos usar unidades em centímetros para os raios (porque o enunciado pede os raios em \mathrm{cm}). Substituindo L=30,0\\ \mathrm{cm}:
r_{\text{m}} = \frac{30,0\\ \mathrm{cm}}{2\pi}.
Agora calcule numericamente. Usando \pi\approx 3,1416:
r_{\text{m}} \approx \frac{30,0}{2\cdot 3,1416}\\ \mathrm{cm} \approx 4,7746\\ \mathrm{cm}\approx 4,77\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

O solenoide tem raio de seção a=2,00\\ \mathrm{cm}. Ao enrolá‑lo, esse a vira a “semi‑espessura” do toro (o raio menor da seção circular do toro). Portanto os raios interno e externo do toróide são:
r_{\text{in}} = r_{\text{m}} - a,\qquad r_{\text{out}} = r_{\text{m}} + a.
Substituindo os valores numéricos:
r_{\text{in}} \approx 4,7746\\ \mathrm{cm} - 2,00\\ \mathrm{cm} \approx 2,7746\\ \mathrm{cm} \approx 2,77\\ \mathrm{cm},
r_{\text{out}} \approx 4,7746\\ \mathrm{cm} + 2,00\\ \mathrm{cm} \approx 6,7746\\ \mathrm{cm} \approx 6,77\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora calculemos o campo magnético dentro do solenoide ideal. A fórmula do solenoide longo ideal no interior é
B_{\text{solen}} = \mu_{0}\, n\, I,
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • n é o número de voltas por unidade de comprimento, isto é n=\dfrac{N}{L_{\text{m}}} (com L_{\text{m}} em metros);
  • I é a corrente.
Convertemos o comprimento para metros: L_{\text{m}}=0,300\\ \mathrm{m}. Então
n=\frac{N}{L_{\text{m}}}=\frac{1200}{0,300\\ \mathrm{m}}=4000\\ \mathrm{m^{-1}}.
Substituindo em B_{\text{solen}}:
B_{\text{solen}}=\mu_{0}\,n\,I = \left(4\pi\times 10^{-7}\right)\cdot 4000\cdot 1,00\\ \mathrm{T}.
Calculemos passo a passo:
B_{\text{solen}} = 4\pi\times 10^{-7}\times 4000\\ \mathrm{T} = 0,0016\pi\\ \mathrm{T}.
Aproximando \pi:
B_{\text{solen}} \approx 0,0016\times 3,1416\\ \mathrm{T}\approx 0,0050265\\ \mathrm{T}.
Convertendo para miliTesla ( 1\\ \mathrm{T}=1000\\ \mathrm{mT}):
B_{\text{solen}} \approx 5,03\\ \mathrm{mT}.

Passo 5

Agora o campo no centro da seção reta circular do toróide. Para um toróide ideal (campo confinado entre r_{\text{in}} e r_{\text{out}}) a fórmula do campo em função do raio r dentro do toro é
B_{\text{toro}}(r)=\frac{\mu_{0} N I}{2\pi r},
onde N é o número total de voltas ao redor do toro (aqui N=1200) e r é a distância do centro do toro ao ponto onde se calcula B. O centro da seção reta circular corresponde ao raio médio r_{\text{m}}. Substituindo r=r_{\text{m}}=\dfrac{L}{2\pi} obtemos:
B_{\text{toro}}(r_{\text{m}})=\frac{\mu_{0} N I}{2\pi \, r_{\text{m}}}=\frac{\mu_{0} N I}{2\pi \left(\dfrac{L}{2\pi}\right)}=\frac{\mu_{0} N I}{L}.
Reescrevendo \dfrac{N}{L} = n (número de voltas por comprimento do solenoide original), resulta:
B_{\text{toro}}(r_{\text{m}})=\mu_{0}\,n\,I.
Este é exatamente o mesmo valor do campo do solenoide longo ideal calculado no Passo 4. Portanto numericamente:
B_{\text{toro}}(\text{centro}) = B_{\text{solen}} \approx 5,03\\ \mathrm{mT}.

Resposta

r_{\text{in}}\approx 2,77\\ \mathrm{cm}
r_{\text{out}}\approx 6,77\\ \mathrm{cm}
B_{\text{solen}}\approx 5,03\\ \mathrm{mT}
B_{\text{toro}}(\text{centro}) = B_{\text{solen}}

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