Questão 2. O deslocamento angular \theta de um objeto giratório depende do tempo de acordo com a expressão
\theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2}
onde \alpha=2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3} e \beta=1,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Calcule a sua velocidade angular média entre os instantes t=1,0 \mathrm{~s} e t=5,0 \mathrm{~s}.
(b) Obtenha uma expressão para a velocidade angular \omega(t) em função do tempo.
(c) Obtenha a velocidade angular em t=2,0 \mathrm{~s}.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração angular \alpha(t) em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a função do deslocamento angular \theta(t) e pede quatro coisas. Informações e perguntas listadas claramente:
Função dada: \theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2}.
Constantes fornecidas: \alpha=2,0\\ \mathrm{rad/s^{3}} e \beta=1,0\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade angular média entre t=1,0\\ \mathrm{s} e t=5,0\\ \mathrm{s}.
(b) Obter uma expressão para a velocidade angular \omega(t) em função do tempo.
(c) Calcular a velocidade angular em t=2,0\\ \mathrm{s}.
(d) Obter uma expressão para a aceleração angular \alpha(t) em função do tempo.
Observação de notação: o enunciado usa a letra \alpha tanto para o coeficiente numérico quanto para pedir a aceleração angular \alpha(t). Para evitar confusão, eu vou manter os coeficientes dados como \alpha e \beta (conforme o enunciado) e escrever a aceleração angular também como \alpha(t) quando pedida; quando for útil, também mostrarei \ddot{\theta}(t) (segunda derivada de \theta) para clarificar que é aceleração.
Passo 2
Entendendo o que é velocidade angular média (aula curtinha e prática).
Definição: a velocidade angular média entre dois instantes t_1 e t_2 é a variação do deslocamento angular dividida pelo intervalo de tempo:
Observação de notação final: esta \alpha(t)=12t-2 é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^{2}}). Se ficar confuso por causa do mesmo símbolo usado para o coeficiente, lembre-se que do ponto de vista operacional calculamos a segunda derivada de \theta.