Questão 2. O deslocamento angular \theta de um objeto giratório depende do tempo de acordo com a expressão
\theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2}
onde \alpha=2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3} e \beta=1,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Calcule a sua velocidade angular média entre os instantes t=1,0 \mathrm{~s} e t=5,0 \mathrm{~s}.
(b) Obtenha uma expressão para a velocidade angular \omega(t) em função do tempo.
(c) Obtenha a velocidade angular em t=2,0 \mathrm{~s}.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração angular \alpha(t) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a função do deslocamento angular \theta(t) e pede quatro coisas. Informações e perguntas listadas claramente:
  • Função dada: \theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2}.
  • Constantes fornecidas: \alpha=2,0\\ \mathrm{rad/s^{3}} e \beta=1,0\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a velocidade angular média entre t=1,0\\ \mathrm{s} e t=5,0\\ \mathrm{s}.
    (b) Obter uma expressão para a velocidade angular \omega(t) em função do tempo.
    (c) Calcular a velocidade angular em t=2,0\\ \mathrm{s}.
    (d) Obter uma expressão para a aceleração angular \alpha(t) em função do tempo.
Observação de notação: o enunciado usa a letra \alpha tanto para o coeficiente numérico quanto para pedir a aceleração angular \alpha(t). Para evitar confusão, eu vou manter os coeficientes dados como \alpha e \beta (conforme o enunciado) e escrever a aceleração angular também como \alpha(t) quando pedida; quando for útil, também mostrarei \ddot{\theta}(t) (segunda derivada de \theta) para clarificar que é aceleração.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade angular média (aula curtinha e prática).
  • Definição: a velocidade angular média entre dois instantes t_1 e t_2 é a variação do deslocamento angular dividida pelo intervalo de tempo:
\text{velocidade média} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\theta(t_2)-\theta(t_1)}{t_2-t_1}.é
  • Aqui cada termo significa:
    • \theta(t_2) e \theta(t_1) são os deslocamentos angulares nos instantes finais e iniciais (em radianos).
    • t_2-t_1 é o intervalo de tempo (em segundos).
  • Estratégia prática para (a): calcular \theta(5,0) e \theta(1,0), subtrair e dividir por 5,0-1,0=4,0\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular \theta(5,0) e \theta(1,0) usando a função dada.
  • Usando \theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2} com \alpha=2,0 e \beta=1,0:
\theta(5,0)=\alpha(5,0)^{3}-\beta(5,0)^{2}=\;2,0\cdot125-1,0\cdot25.
Agora efetuo as contas:
2,0\cdot125=250\quad\text{e}\quad 1,0\cdot25=25,
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\theta(5,0)=250-25=225\\ \mathrm{rad}.
Para t=1,0:
\theta(1,0)=\alpha(1,0)^{3}-\beta(1,0)^{2}=2,0\cdot1-1,0\cdot1=2,0-1,0=1,0\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular média entre t=1,0\\ \mathrm{s} e t=5,0\\ \mathrm{s}.
  • Aplicando a fórmula da velocidade média:
\overline{\omega}=\frac{\theta(5,0)-\theta(1,0)}{5,0-1,0}=\frac{225-1,0}{4,0}=\frac{224}{4,0}.
  • Fazendo a divisão:
\overline{\omega}=56\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação rápida: em média o objeto gira com 56\\ \mathrm{rad/s} entre 1,0 s e 5,0 s.

Passo 5

Entendendo como obter a velocidade angular instantânea \omega(t) (aula prática de derivada).
  • Conceito: a velocidade angular instantânea é a derivada do deslocamento angular em relação ao tempo:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}(t).
  • Regra que vamos usar (regra da potência): para t^{n},
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}.
  • Aplicação direta: derive termo a termo \theta(t)=\alpha t^{3}-\beta t^{2}.

Passo 6

Derivar \theta(t) para obter \omega(t).
  • Derivando:
\omega(t)=\frac{d}{dt}\big(\alpha t^{3}-\beta t^{2}\big)=\alpha\cdot3t^{2}-\beta\cdot2t.
  • Simplificando os coeficientes:
\omega(t)=3\alpha\,t^{2}-2\beta\,t.
  • Substituindo os valores numéricos \alpha=2,0 e \beta=1,0:
\omega(t)=3\cdot2,0\,t^{2}-2\cdot1,0\,t=6\,t^{2}-2\,t\quad(\mathrm{rad/s}).
Explicação: cada termo foi derivado pela regra da potência e multiplicado pelo coeficiente.

Passo 7

Calcular a velocidade angular instantânea em t=2,0\\ \mathrm{s}.
  • Usando \omega(t)=6t^{2}-2t, substituo t=2,0:
\omega(2,0)=6\cdot(2,0)^{2}-2\cdot(2,0)=6\cdot4-4=24-4=20\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: no instante 2,0\\ \mathrm{s} a velocidade angular é 20\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Obter a aceleração angular \alpha(t) (segunda derivada) e interpretar a notação.
  • Definição: a aceleração angular instantânea é a derivada da velocidade angular ou a segunda derivada do deslocamento:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\ddot{\theta}(t).
  • Derivo \omega(t)=3\alpha t^{2}-2\beta t termo a termo usando a regra da potência.

Passo 9

Derivar para obter a expressão final da aceleração angular.
  • Derivando:
\alpha(t)=\frac{d}{dt}\big(3\alpha t^{2}-2\beta t\big)=3\alpha\cdot2t-2\beta\cdot1=6\alpha\,t-2\beta.
  • Substituindo \alpha=2,0 e \beta=1,0 (lembrando que aqui \alpha do lado direito é o coeficiente dado):
\alpha(t)=6\cdot2,0\;t-2\cdot1,0=12\,t-2\quad(\mathrm{rad/s^{2}}).
Observação de notação final: esta \alpha(t)=12t-2 é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^{2}}). Se ficar confuso por causa do mesmo símbolo usado para o coeficiente, lembre-se que do ponto de vista operacional calculamos a segunda derivada de \theta.

Resposta

(a) \;56\\ \mathrm{rad/s}
(b) \;\omega(t)=6\,t^{2}-2\,t\\ \mathrm{rad/s}
(c) \;\omega(2,0)=20\\ \mathrm{rad/s}
(d) \;\alpha(t)=12\,t-2\\ \mathrm{rad/s^{2}}

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