O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
Utilizando o momento Mmax, a tensão normal atuante no ponto B no alumínio, oB_alum (em MPa):

Passo 1

O que o enunciado pede aqui (primeiro item): calcular a tensão normal no ponto B do alumínio usando o momento máximo M_{\max}.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
\begin{aligned} &b=70\\ \mathrm{mm},\\\ &h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ &h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ &L=4{,}5\\ \mathrm{m}=4500\\ \mathrm{mm},\\\ &E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \mathrm{GPa}=75\,000\\ \mathrm{MPa},\\\ &E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \mathrm{GPa}=200\,000\\ \mathrm{MPa},\\\ &\sigma_{\text{adm,alum}}=100{,}0\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{dado}),\\\ &\sigma_{\text{adm,aço}}=150{,}0\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{dado}). \end{aligned}ççç
Localização do ponto B (pela figura): ponto no alumínio na face de contato com o aço (ou seja, na borda inferior do trecho de alumínio). Portanto a cota vertical do ponto B medida a partir da base inferior da viga é
y_B = h_{\text{aço}} = 60\\ \mathrm{mm}.ç
Observação: neste item vamos obter \sigma_{B,\text{alum}} em função da intensidade distribuída w, usando M_{\max} do carregamento uniformemente distribuído em viga engastada-simplesmente apoiada? (pela figura parece uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída; para essa viga)
M_{\max}=\frac{wL^2}{8}.
Vou usar esse M_{\max}.

Passo 2

Estratégia e fórmula fundamental (passo-a-passo didático): para viga composta com materiais diferentes a deformação por flexão é linear e comum a toda a seção; a tensão em cada material é
\sigma_i = E_i\;\varepsilon = E_i\;\kappa\,(y-y_{NA}),
onde \kappa é a curvatura e y-y_{NA} é a distância do ponto ao eixo neutro. A curvatura é dada por
\kappa=\frac{M}{E_{\text{ref}} I_{\text{trans}}},
quando usamos o método da seção transformada tomando um material de referência com módulo E_{\text{ref}}. Vou tomar o aço como referência ( E_{\text{ref}}=E_{\text{aço}}ç), assim a tensão no alumínio num ponto com distância y-y_{NA} será
\sigma_{\text{alum}} = E_{\text{alum}}\;\kappa\,(y-y_{NA}) = \frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}\;\frac{M}{I_{\text{trans}}}\;(y-y_{NA}).ç
Portanto preciso determinar: o fator de transformação n, a localização do eixo neutro y_{NA} (em mm a partir da base), o momento de inércia transformado I_{\text{trans}}, e então substituir M=M_{\max}=\dfrac{wL^2}{8} e y=y_B.

Passo 3

Cálculo do fator de transformação e das áreas:
n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=\frac{75\,000}{200\,000}=0{,}375.ç
Áreas das duas placas (área real):
A_{\text{aço}}=b\,h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \mathrm{mm}^2,çç
A_{\text{alum}}=b\,h_{\text{alum}}=70\cdot 90=6300\\ \mathrm{mm}^2.
Área transformada do alumínio para equivalente em aço:
A'_{\text{alum}}=n\,A_{\text{alum}}=0{,}375\cdot 6300=2362{,}5\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Cálculo das posições dos centróides (medidas a partir da base inferior):
y_{\text{cent,aço}}=\frac{h_{\text{aço}}}{2}=30\\ \mathrm{mm},çç
y_{\text{cent,alum}}=h_{\text{aço}}+\frac{h_{\text{alum}}}{2}=60+45=105\\ \mathrm{mm}.ç
Agora o eixo neutro da seção transformada (referência aço) é o centróide das áreas transformadas:
y_{NA}=\frac{A_{\text{aço}}\,y_{\text{cent,aço}} + A'_{\text{alum}}\,y_{\text{cent,alum}}}{A_{\text{aço}}+A'_{\text{alum}}}.ççç
Substituindo os números:
y_{NA}=\frac{4200\cdot 30 + 2362{,}5\cdot 105}{4200+2362{,}5} =\frac{126000 + 248062{,}5}{6562{,}5} =\frac{374062{,}5}{6562{,}5}=57{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o eixo neutro está a 57{,}0\\ \mathrm{mm} da base, isto é 3{,}0 mm abaixo da interface (interface a 60\\ \mathrm{mm}), portanto o ponto B (na face do alumínio junto à interface) está a
y_B - y_{NA} = 60 - 57 = 3{,}0\\ \mathrm{mm}
acima do eixo neutro.

Passo 5

Cálculo dos momentos de inércia (usando teorema dos eixos paralelos) para a seção transformada (referência aço).
Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal (base b, altura h):
I_{\text{cent}}=\frac{b\,h^3}{12}.
Para o aço (sem transformação):
I_{\text{aço,cent}}=\frac{70\cdot 60^3}{12}=1\,260\,000\\ \mathrm{mm}^4.ç
Deslocamento do centróide do aço até o NA:
d_{\text{aço}}=y_{NA}-y_{\text{cent,aço}}=57-30=27\\ \mathrm{mm}.çç
Momento de inércia do bloco de aço em torno do NA:
I_{\text{aço}}=I_{\text{aço,cent}} + A_{\text{aço}}\,d_{\text{aço}}^2 =1\,260\,000 + 4200\cdot 27^2 =1\,260\,000 + 3\,061\,800 =4\,321\,800\\ \mathrm{mm}^4.çççç
Para o alumínio (primeiro o I em torno do seu centro):
I_{\text{alum,cent}}=\frac{70\cdot 90^3}{12}=4\,252\,500\\ \mathrm{mm}^4.
Distância do centróide do alumínio até o NA:
d_{\text{alum}}=y_{\text{cent,alum}}-y_{NA}=105-57=48\\ \mathrm{mm}.
Aplicando a transformação (multiplicar por n):
I'_{\text{alum}}=n\left(I_{\text{alum,cent}} + A_{\text{alum}}\,d_{\text{alum}}^2\right) =0{,}375\left(4\,252\,500 + 6300\cdot 48^2\right).
Calculei os termos:
A_{\text{alum}}\,d_{\text{alum}}^2 = 6300\cdot 48^2 = 14\,515\,200,
I_{\text{alum,cent}} + A_{\text{alum}}\,d_{\text{alum}}^2 = 4\,252\,500 + 14\,515\,200 = 18\,767\,700,
I'_{\text{alum}}=0{,}375\cdot 18\,767\,700 = 7\,037\,887{,}5\\ \mathrm{mm}^4.
Momento de inércia total transformado:
I_{\text{trans}} = I_{\text{aço}} + I'_{\text{alum}} =4\,321\,800 + 7\,037\,887{,}5 = 11\,359\,687{,}5\\ \mathrm{mm}^4.ç

Passo 6

Expressão do momento máximo e substituição para obter a curvatura/ tensão. Para viga biapoiada com carga uniformemente distribuída w (se w for dado em \mathrm{kN/m}, lembre que 1\\ \mathrm{kN/m}=1\\ \mathrm{N/mm} numericamente quando convertimos L para mm), o momento máximo no meio do vão é
M_{\max}=\frac{wL^2}{8}.
Convertendo L=4500\\ \mathrm{mm}:
M_{\max}=\frac{w\cdot 4500^2}{8}=\frac{w\cdot 20\,250\,000}{8}=2\,531\,250\;w\quad(\text{unidade: N}\cdot\mathrm{mm},\\ \text{se }w\text{ em N/mm}).

Passo 7

Cálculo da tensão no ponto B do alumínio. Fórmula final já indicada:
\sigma_{B,\text{alum}}=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}\,\frac{M_{\max}}{I_{\text{trans}}}\,(y_B-y_{NA}).ç
Substituindo os valores numéricos:
\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=0{,}375,\qquad M_{\max}=2\,531\,250\,w,\qquad y_B-y_{NA}=3{,}0\\ \mathrm{mm},ç
I_{\text{trans}}=11\,359\,687{,}5\\ \mathrm{mm}^4.
Então
\sigma_{B,\text{alum}}=0{,}375\cdot\frac{2\,531\,250\,w}{11\,359\,687{,}5}\cdot 3 =\frac{0{,}375\cdot 2\,531\,250\cdot 3}{11\,359\,687{,}5}\,w.
Calcule o coeficiente numérico:
0{,}375\cdot 2\,531\,250\cdot 3 = 2\,847\,656{,}25,
\frac{2\,847\,656{,}25}{11\,359\,687{,}5}\approx 0{,}2507.
Portanto, com w expresso em \mathrm{kN/m} (ou equivalentemente em \mathrm{N/mm} quando L está em mm), a tensão em B (em \mathrm{MPa}) é aproximadamente
\sigma_{B,\text{alum}}\approx 0{,}2507\,w\\ \text{MPa}.
Interpretação: por exemplo, se w=1\\ \mathrm{kN/m} então \sigma_{B,\text{alum}}\approx 0{,}2507\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\displaystyle \sigma_{B,\text{alum}}\approx 0{,}2507\,w\\ \mathrm{MPa} (com w em \mathrm{kN/m}; numericamente equivalente se w for dado em \mathrm{N/mm}).

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