Um fio em aço-carbono com 3 mm de diâmetro deve oferecer uma resistência que não seja superior a 20 \Omega. Calcule o comprimento máximo do fio.
Dado: Condutividade elétrica do aço carbono: \sigma=0,6 \times 10^{7}(\Omega-\mathrm{m})^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento máximo do fio para que a sua resistência não seja superior a 20\\ \Omega.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Diâmetro do fio: d = 3\\ \text{mm}.
  • Resistência máxima permitida: R_{\max} = 20\\ \Omega.
  • Condutividade elétrica do aço‑carbono: \sigma = 0,6 \times 10^{7}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.
Observações úteis (que vieram do enunciado): o fio é cilíndrico (assumimos seção circular uniforme) e a condutividade dada será usada para relacionar resistência, comprimento e área.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Resistividade \rho: é a propriedade do material que mede quanto ele resiste ao fluxo de corrente. Ela é o inverso da condutividade:
\rho=\frac{1}{\sigma}.
Aqui \rho tem unidades de \Omega\cdot\mathrm{m} e \sigma tem unidades de (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.
  • Resistência de um fio homogêneo e cilíndrico: a resistência R depende da resistividade \rho, do comprimento L e da área da seção transversal A:
R=\rho\,\frac{L}{A}.
Nesta fórmula:
  • R é a resistência em \Omega,
  • \rho é a resistividade em \Omega\cdot\mathrm{m},
  • L é o comprimento em \mathrm{m},
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m}^2.
A partir dessa fórmula isolamos L (o que queremos):
L=\frac{R\,A}{\rho}.
Como \rho=1/\sigma, também podemos escrever:
L=R\,A\,\sigma.
Vou usar a expressão que for mais direta nos cálculos.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal do fio (seção circular).
  • Primeiro converto o diâmetro para metros:
d=3\\ \text{mm}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • O raio é r=\dfrac{d}{2}. Então
r=\frac{3\times10^{-3}}{2}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • A área da seção circular é
A=\pi r^{2}.
Substituindo o valor do raio:
A=\pi\left(1{,}5\times10^{-3}\right)^{2}.

Passo 4

Faço a conta do quadrado do raio e multiplico por \pi:
  • Primeiro o quadrado:
\left(1{,}5\times10^{-3}\right)^{2}=2{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • Agora multiplicando por \pi:
A=\pi\times 2{,}25\times10^{-6}=2{,}25\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Aproximando numericamente (usando \pi\approx3{,}14159265):
A\approx 7{,}068583\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calculo da resistividade \rho a partir da condutividade \sigma.
Dado \sigma=0,6\times10^{7}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}. Primeiro escrevo \sigma de forma numérica mais direta:
\sigma=0{,}6\times10^{7}=6{,}0\times10^{6}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.
Então
\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{6{,}0\times10^{6}} \approx 1{,}6666667\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Agora uso a fórmula para L. Vou usar a forma L=R\,A\,\sigma (equivalentemente L=R A/\rho), porque já tenho \sigma e A:
  • Primeiro calculo o produto A\sigma:
A\sigma \approx \left(7{,}068583\times10^{-6}\right)\times\left(6{,}0\times10^{6}\right).
Faço a multiplicação em partes: 7{,}068583\times10^{-6}\times6{,}0\times10^{6} = 7{,}068583\times6{,}0 = 42{,}411498.
Logo
A\sigma \approx 42{,}411498\quad(\text{adimensional; unidades combinadas dão } \mathrm{m}).ã
(Aqui o resultado tem dimensão de metro porque A é \mathrm{m}^2 e \sigma é (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}; ao multiplicar por R em \Omega obtemos metro.)

Passo 7

Multiplico pelo valor máximo de resistência R_{\max}=20\\ \Omega para obter L_{\max}:
L_{\max}=R_{\max}\,A\sigma \approx 20\times 42{,}411498 \approx 848{,}22996\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final.
  • O comprimento máximo do fio para que sua resistência não exceda 20\\ \Omega é aproximadamente 848{,}23\\ \mathrm{m}.
  • Como os dados têm precisão limitada (por exemplo, d=3\\ \text{mm} e \sigma dado com apenas dois algarismos significativos), é razoável reportar o resultado com três algarismos significativos: 848\\ \mathrm{m} ou 8{,}48\times10^{2}\\ \mathrm{m}. Vou manter duas casas decimais no cálculo e depois indicar uma forma arredondada prática.

Resposta

L_{\max}=848{,}23\\ \mathrm{m}

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