Um fio em aço-carbono com 3 mm de diâmetro deve oferecer uma resistência que não seja superior a
. Calcule o comprimento máximo do fio.
Dado: Condutividade elétrica do aço carbono:
Dado: Condutividade elétrica do aço carbono:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento máximo do fio para que a sua resistência não seja superior a
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Diâmetro do fio:
. - Resistência máxima permitida:
. - Condutividade elétrica do aço‑carbono:
.
Observações úteis (que vieram do enunciado): o fio é cilíndrico (assumimos seção circular uniforme) e a condutividade dada será usada para relacionar resistência, comprimento e área.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Resistividade
: é a propriedade do material que mede quanto ele resiste ao fluxo de corrente. Ela é o inverso da condutividade:
Aqui
tem unidades de
e
tem unidades de
.
- Resistência de um fio homogêneo e cilíndrico: a resistência
depende da resistividade , do comprimento e da área da seção transversal :
Nesta fórmula:
-
é a resistência em , -
é a resistividade em , -
é o comprimento em , -
é a área da seção transversal em .
A partir dessa fórmula isolamos
(o que queremos):
Como
, também podemos escrever:
Vou usar a expressão que for mais direta nos cálculos.
Passo 3
Cálculo da área da seção transversal do fio (seção circular).
- Primeiro converto o diâmetro para metros:
- O raio é
. Então
- A área da seção circular é
Substituindo o valor do raio:
Passo 4
Faço a conta do quadrado do raio e multiplico por
:
- Primeiro o quadrado:
- Agora multiplicando por
:
Aproximando numericamente (usando
):
Passo 5
Calculo da resistividade
a partir da condutividade
.
Dado
. Primeiro escrevo
de forma numérica mais direta:
Então
Passo 6
Agora uso a fórmula para
. Vou usar a forma
(equivalentemente
), porque já tenho
e
:
- Primeiro calculo o produto
:
Faço a multiplicação em partes:
.
Logo
Logo
(Aqui o resultado tem dimensão de metro porque
é
e
é
; ao multiplicar por
em
obtemos metro.)
Passo 7
Multiplico pelo valor máximo de resistência
para obter
:
Passo 8
Interpretação e arredondamento final.
- O comprimento máximo do fio para que sua resistência não exceda
é aproximadamente . - Como os dados têm precisão limitada (por exemplo,
e dado com apenas dois algarismos significativos), é razoável reportar o resultado com três algarismos significativos: ou . Vou manter duas casas decimais no cálculo e depois indicar uma forma arredondada prática.