a) Represente a direção [101] em um sistema cristalino CFC e átomos contidos
b) Ligações metálicas - Parâmetro de rede =4. Calcule a densidade linear e o empacotamento linear

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos foram dados.
O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Representar a direção [101] em um cristal cúbico de faces centradas (CFC) e indicar quais átomos (posições na célula) estão contidos nessa direção dentro da célula convencional.
  • (b) Para ligações/metais com parâmetro de rede a=4, calcular a densidade linear e o empacotamento linear ao longo da direção [101].
Informações relevantes dadas:
  • Estrutura cristalina: cúbica de faces centradas (CFC).
  • Direção: [101].
  • Parâmetro de rede: a=4 (unidades não especificadas; os resultados lineares ficarão em função da unidade usada para a).
  • Devemos fornecer a representação geométrica da direção e identificar os átomos cujos centros estão sobre essa linha.

Passo 2

Entender o que significa a direção [101] num cristal cúbico e como representá-la.
  • Para um cristal cúbico, a direção [hkl] corresponde a um vetor de componentes inteiras h,k,l ao longo dos vetores de rede da célula convencional. Ou seja, [101] corresponde ao vetor cujas componentes (em unidades de a) são (1,0,1).
  • Em coordenadas cartesianas do sistema cúbico, o vetor correspondente tem comprimento
L = a\sqrt{1^2+0^2+1^2}=a\sqrt{2}.
  • Para desenhar a direção [101] numa célula cúbica: escolha a origem no canto (0,0,0), vá 1 passo na direção x (isto é, até x=1) e 0 passos em y, e 1 passo em z. A seta do ponto (0,0,0) até (1,0,1) (em coordenadas fracionárias multiplicadas por a) é exatamente a direção [101].

Passo 3

Listar as posições atômicas da célula CFC (coord. fracionárias) e verificar quais dessas posições estão sobre a linha da direção [101].
Posições padrão da CFC (em coordenadas fracionárias da célula convencional):
  • Cantos: (0,0,0) (e os outros cantos obtidos por adicionar inteiros).
  • Centros de face: (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0), (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}), (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
A equação paramétrica da linha que passa pela origem na direção [101] é
\mathbf{r}(t)=t\,(1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R},
em unidades de a. Para saber se uma posição atômica (x,y,z) (fracionária) está sobre essa linha, procuramos t tal que
t = x,\quad 0 = y,\quad t = z.
Verificação das posições:
  • Para o canto (0,0,0): escolhemos t=0. Satisfeito: o canto está sobre a linha.
  • Para o centro de face (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}): toma-se t=\tfrac{1}{2}. Satisfeito: esse átomo de face está sobre a linha.
  • Para o canto equivalente (1,0,1) (que é o canto oposto ao longo da linha): toma-se t=1. Satisfeito: esse canto também está sobre a linha.
  • As outras faces (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0) e (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) não satisfazem y=0, logo não estão sobre a linha.
Conclusão prática: dentro da célula convencional a linha [101] passa pelos centros dos átomos nas posições fracionárias
(0,0,0),\quad \Big(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\Big),\quad (1,0,1)
(onde (1,0,1) é o canto do fim do segmento de uma célula e equivale ao canto de outra célula adjacente). Geometricamente, entre dois nós de rede consecutivos ao longo de [101] existe exatamente um átomo de face no ponto médio.

Passo 4

Entender a periodicidade e construir o segmento repetitivo usado para definir densidade linear.
  • A distância entre nós de rede consecutivos ao longo [101] (por exemplo entre (0,0,0) e (1,0,1)) é
L = a\sqrt{2}.
  • Na sequência de centros ao longo da linha aparecem, na ordem, centros em posições como \ldots,(-1,0,-1),(0,0,0),(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}),(1,0,1),\ldots. Ou seja, num intervalo de comprimento L existem dois centros de átomos: o nó de rede no início e o átomo de face no interior (contando o nó inicial e não o nó final para evitar dupla contagem em segmentos repetidos).
Portanto, número de átomos por comprimento repetitivo L é N=2.

Passo 5

Calcular a densidade linear (número de átomos por unidade de comprimento) ao longo de [101].
Definição usada: densidade linear
\text{LD}=\frac{\text{número de centros de átomos no segmento repetitivo}}{\text{comprimento do segmento repetitivo}}=\frac{N}{L}.úá
Substituindo N=2 e L=a\sqrt{2}:
\text{LD}=\frac{2}{a\sqrt{2}}.
Agora substituir a=4:
\text{LD}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,3536.
Interpretação: \text{LD} tem unidades de átomos por unidade de comprimento (se a estiver em Å, então átomos/Å). Usando a vírgula decimal conforme pedido:
\text{LD}\approx 0,3536\\ \text{átomos por unidade de comprimento (para \(a=4\))}.á

Passo 6

Calcular o empacotamento linear (fração do comprimento ocupado por átomos) ao longo de [101].
  • Para isso precisamos relacionar o parâmetro de rede a com o raio atômico R. Na rede CFC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; essa diagonal tem comprimento a\sqrt{2} e contém quatro raios em sequência, portanto
4R = a\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt{2}\,R.
  • O diâmetro atômico é D=2R. Expresso em termos de a:
D=\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Definição prática de empacotamento linear (LPF) que usaremos: razão entre o comprimento total ocupado pelos diâmetros dos átomos que têm seus centros no segmento repetitivo e o comprimento do segmento repetitivo. Ou seja,
\text{LPF}=\frac{N\cdot D}{L}.
Substituindo N=2, D=\dfrac{a}{\sqrt{2}} e L=a\sqrt{2}:
\text{LPF}=\frac{2\cdot \dfrac{a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{(\sqrt{2}\sqrt{2})} = \frac{2}{2}=1.
  • Em percentagem, \text{LPF}=1 corresponde a 100\%.
Interpretação física curta: \text{LPF}=1 significa que, ao longo da direção [101], as esferas duras (modelo esférico dos átomos) tocam-se sequencialmente — não há espaços vazios entre os diâmetros quando se mede ao longo dessa direção.

Passo 7

Resumo final do procedimento e verificação rápida de consistência.
  • Achamos que ao longo de [101] há, por período L=a\sqrt{2}, dois centros de átomos; isso leva à densidade linear \dfrac{2}{a\sqrt{2}}, que num valor numérico com a=4 \approx 0,3536 átomos por unidade de comprimento.
  • Usando a relação geométrica FCC a=2\sqrt{2}R concluímos que o diâmetro D=a/\sqrt{2}. O empacotamento linear calculado por \dfrac{N D}{L} dá exatamente 1, o que é consistente com o fato de que, na CFC, o átomo de face fica exatamente no meio entre dois nós de rede ao longo da direção [101] e os centros estão separados por uma distância igual ao diâmetro atômico (toque).

Resposta

(a) A direção [101] é o vetor (1,0,1) (comprimento a\sqrt{2}). Os centros de átomos dessa linha, dentro da célula convencional, são (0,0,0), (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}) e (1,0,1) (onde (1,0,1) é o nó de rede do final do segmento).\n
(b) \text{Densidade linear}=\dfrac{2}{a\sqrt{2}}=\dfrac{2}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,3536 átomos por unidade de comprimento.\n \text{Empacotamento linear} = 1 (ou 100\%).

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