a) Represente a direção [101] em um sistema cristalino CFC e átomos contidos
b) Ligações metálicas - Parâmetro de rede =4. Calcule a densidade linear e o empacotamento linear
b) Ligações metálicas - Parâmetro de rede =4. Calcule a densidade linear e o empacotamento linear
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos foram dados.
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Representar a direção
em um cristal cúbico de faces centradas (CFC) e indicar quais átomos (posições na célula) estão contidos nessa direção dentro da célula convencional. - (b) Para ligações/metais com parâmetro de rede
, calcular a densidade linear e o empacotamento linear ao longo da direção .
Informações relevantes dadas:
- Estrutura cristalina: cúbica de faces centradas (CFC).
- Direção:
. - Parâmetro de rede:
(unidades não especificadas; os resultados lineares ficarão em função da unidade usada para ). - Devemos fornecer a representação geométrica da direção e identificar os átomos cujos centros estão sobre essa linha.
Passo 2
Entender o que significa a direção
num cristal cúbico e como representá-la.
- Para um cristal cúbico, a direção
corresponde a um vetor de componentes inteiras ao longo dos vetores de rede da célula convencional. Ou seja, corresponde ao vetor cujas componentes (em unidades de ) são . - Em coordenadas cartesianas do sistema cúbico, o vetor correspondente tem comprimento
- Para desenhar a direção
numa célula cúbica: escolha a origem no canto , vá 1 passo na direção (isto é, até ) e 0 passos em , e 1 passo em . A seta do ponto até (em coordenadas fracionárias multiplicadas por ) é exatamente a direção .
Passo 3
Listar as posições atômicas da célula CFC (coord. fracionárias) e verificar quais dessas posições estão sobre a linha da direção
.
Posições padrão da CFC (em coordenadas fracionárias da célula convencional):
- Cantos:
(e os outros cantos obtidos por adicionar inteiros). - Centros de face:
, , .
A equação paramétrica da linha que passa pela origem na direção
é
em unidades de
. Para saber se uma posição atômica
(fracionária) está sobre essa linha, procuramos
tal que
Verificação das posições:
- Para o canto
: escolhemos . Satisfeito: o canto está sobre a linha. - Para o centro de face
: toma-se . Satisfeito: esse átomo de face está sobre a linha. - Para o canto equivalente
(que é o canto oposto ao longo da linha): toma-se . Satisfeito: esse canto também está sobre a linha. - As outras faces
e não satisfazem , logo não estão sobre a linha.
Conclusão prática: dentro da célula convencional a linha
passa pelos centros dos átomos nas posições fracionárias
(onde
é o canto do fim do segmento de uma célula e equivale ao canto de outra célula adjacente). Geometricamente, entre dois nós de rede consecutivos ao longo de
existe exatamente um átomo de face no ponto médio.
Passo 4
Entender a periodicidade e construir o segmento repetitivo usado para definir densidade linear.
- A distância entre nós de rede consecutivos ao longo
(por exemplo entre e ) é
- Na sequência de centros ao longo da linha aparecem, na ordem, centros em posições como
. Ou seja, num intervalo de comprimento existem dois centros de átomos: o nó de rede no início e o átomo de face no interior (contando o nó inicial e não o nó final para evitar dupla contagem em segmentos repetidos).
Portanto, número de átomos por comprimento repetitivo
é
.
Passo 5
Calcular a densidade linear (número de átomos por unidade de comprimento) ao longo de
.
Definição usada: densidade linear
Substituindo
e
:
Agora substituir
:
Interpretação:
tem unidades de átomos por unidade de comprimento (se
estiver em Å, então átomos/Å). Usando a vírgula decimal conforme pedido:
Passo 6
Calcular o empacotamento linear (fração do comprimento ocupado por átomos) ao longo de
.
- Para isso precisamos relacionar o parâmetro de rede
com o raio atômico . Na rede CFC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; essa diagonal tem comprimento e contém quatro raios em sequência, portanto
- O diâmetro atômico é
. Expresso em termos de :
- Definição prática de empacotamento linear (LPF) que usaremos: razão entre o comprimento total ocupado pelos diâmetros dos átomos que têm seus centros no segmento repetitivo e o comprimento do segmento repetitivo. Ou seja,
Substituindo
,
e
:
- Em percentagem,
corresponde a .
Interpretação física curta:
significa que, ao longo da direção
, as esferas duras (modelo esférico dos átomos) tocam-se sequencialmente — não há espaços vazios entre os diâmetros quando se mede ao longo dessa direção.
Passo 7
Resumo final do procedimento e verificação rápida de consistência.
- Achamos que ao longo de
há, por período , dois centros de átomos; isso leva à densidade linear , que num valor numérico com dá átomos por unidade de comprimento. - Usando a relação geométrica FCC
concluímos que o diâmetro . O empacotamento linear calculado por dá exatamente , o que é consistente com o fato de que, na CFC, o átomo de face fica exatamente no meio entre dois nós de rede ao longo da direção e os centros estão separados por uma distância igual ao diâmetro atômico (toque).
Resposta
(a) A direção
é o vetor
(comprimento
). Os centros de átomos dessa linha, dentro da célula convencional, são
,
e
(onde
é o nó de rede do final do segmento).\n
(b) átomos por unidade de comprimento.\n
(ou
).
(b)