Um fio de aço, com 5 g e 1 m , é tencionado por uma força de 968 N . Calcular: (a) a velocidade de propagação das ondas transversais; (b) o comprimento de onda e a freqüência do modo fundamental; (
) a freqüência do terceiro harmônico; (
) escreva a função de onda que representa o terceiro harmônico, em função de uma amplitude
desconhecida.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio de aço que pesa 5 gramas e tem 1 metro de comprimento, e ele está sendo puxado com uma força de 968 N. A matéria envolvida aqui é a mecânica das ondas em cordas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como as ondas se propagam em uma corda tencionada, calcular a velocidade das ondas, os comprimentos de onda, as frequências dos harmônicos e escrever a função de onda correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade de propagação das ondas transversais no fio. A velocidade
das ondas em uma corda é dada pela fórmula:
onde:
-
é a tensão na corda (em Newtons), -
é a massa por unidade de comprimento da corda (em kg/m).
Vamos calcular
:
A massa do fio é 5 g, que é 0,005 kg, e o comprimento é 1 m, então:
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): encontrar o comprimento de onda
e a frequência
do modo fundamental.
O modo fundamental é o primeiro harmônico, onde a corda tem um comprimento de onda que é duas vezes o comprimento da corda. A relação é:
onde
é o comprimento da corda.
Substituindo:
Para a frequência do modo fundamental, usamos a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Passando para a parte ©: encontrar a frequência do terceiro harmônico.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Então, a frequência do terceiro harmônico
é:
Passo 5
Finalmente, na parte (d), precisamos escrever a função de onda que representa o terceiro harmônico, em função de uma amplitude
desconhecida.
A forma geral da função de onda para um harmônico
é:
Para o terceiro harmônico (
):
Simplificando:
Resposta
(a) A velocidade de propagação das ondas transversais é aproximadamente
.
(b) O comprimento de onda do modo fundamental é
e a frequência é
.
© A frequência do terceiro harmônico é
.
(d) A função de onda que representa o terceiro harmônico é
.