Dois alto-falantes são separados por uma distância de 6 m e um ouvinte senta-se diretamente na frente de um deles, a
de distância, de modo que os dois alto-falantes e o ouvinte formam um triângulo retângulo. Calcule as duas freqüências mais baixas para as quais a diferença de caminho é um número ímpar de meios comprimentos de onda.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos dois alto-falantes separados por 6 metros e um ouvinte sentado a 8 metros diretamente na frente de um deles, formando um triângulo retângulo. A matéria envolvida aqui é interferência de ondas sonoras. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria para encontrar a diferença de caminho que as ondas percorrem e a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade do som.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância do ouvinte até o segundo alto-falante. Como formam um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras. Se um lado é 6 metros (distância entre os alto-falantes) e outro lado é 8 metros (distância do ouvinte a um alto-falante), a distância até o segundo alto-falante (hipotenusa) será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a diferença de caminho que as ondas percorrem. O ouvinte está a 8 metros de um alto-falante e a 10 metros do outro. Então, a diferença de caminho é:
Passo 4
Queremos que essa diferença de caminho seja um número ímpar de meios comprimentos de onda, ou seja:
Onde
é um número inteiro (0, 1, 2, …). Vamos isolar o comprimento de onda
:
Passo 5
Lembrando que a velocidade do som
está relacionada com a frequência
e o comprimento de onda
pela fórmula:
Podemos rearranjar para encontrar a frequência:
Passo 6
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 7
Assumindo que a velocidade do som
é aproximadamente 340 m/s, e já temos
m, substituímos:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as duas frequências mais baixas, ou seja, para
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
As duas frequências mais baixas são 42,5 Hz e 127,5 Hz.