Dois alto-falantes são separados por uma distância de 6 m e um ouvinte senta-se diretamente na frente de um deles, a 8 m de distância, de modo que os dois alto-falantes e o ouvinte formam um triângulo retângulo. Calcule as duas freqüências mais baixas para as quais a diferença de caminho é um número ímpar de meios comprimentos de onda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos dois alto-falantes separados por 6 metros e um ouvinte sentado a 8 metros diretamente na frente de um deles, formando um triângulo retângulo. A matéria envolvida aqui é interferência de ondas sonoras. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria para encontrar a diferença de caminho que as ondas percorrem e a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade do som.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do ouvinte até o segundo alto-falante. Como formam um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras. Se um lado é 6 metros (distância entre os alto-falantes) e outro lado é 8 metros (distância do ouvinte a um alto-falante), a distância até o segundo alto-falante (hipotenusa) será:
d = raiz8^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10 metros

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferença de caminho que as ondas percorrem. O ouvinte está a 8 metros de um alto-falante e a 10 metros do outro. Então, a diferença de caminho é:
De

Passo 4

Queremos que essa diferença de caminho seja um número ímpar de meios comprimentos de onda, ou seja:
De
Onde lambda = 4 De é um número inteiro (0, 1, 2, …). Vamos isolar o comprimento de onda :

Passo 5

Lembrando que a velocidade do som v = f lambda está relacionada com a frequência f = vlambda e o comprimento de onda pela fórmula:
Podemos rearranjar para encontrar a frequência:

Passo 6

Substituindo a expressão de f = v4 De que encontramos:

Passo 7

Assumindo que a velocidade do som f = 340 times (2n + 1)4 times 2 = 340 times (2n + 1)8 = 3408 times (2n + 1) = 42,5 times (2n + 1) é aproximadamente 340 m/s, e já temos m, substituímos:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as duas frequências mais baixas, ou seja, para f1 = 42,5 times (2 times 0 + 1) = 42,5 times 1 = 42,5 Hz e f2 = 42,5 times (2 times 1 + 1) = 42,5 times 3 = 127,5 Hz :
Para :
Para :

Resposta

As duas frequências mais baixas são 42,5 Hz e 127,5 Hz.

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