Um fio de aquecimento resistivo de 2 kW , com condutividade térmica k=20, ltext W / m cdot ^circ C, diâmetro D=5, mm, e comprimento L=0,7, m, é usado para ferver água. Se a temperatura na superfície externa do fio é Ts=110^circ C, determine a temperatura no centro do fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de diâmetro D=5 mm e comprimento L=0,7 m que dissipa Q=2 kW. A condutividade térmica do material é k=20 W/(mcdot^circ C) e a temperatura na superfície do fio é Ts=110^circC. Queremos achar a temperatura no centro, isto é, T(0), usando o modelo de condução radial com geração uniforme de calor no volume.

Passo 2

Num cilindro com geração volumétrica uniforme q''' e condutividade k, a equação de condução radial em regime permanente é
1rddr!l(rdTdrr)+q'''k=0
Integrando e exigindo que dT/dr seja finito em r=0, obtemos a solução
T(r)=C2-q'''4k,r^2
Impondo T(R)=Ts com R=D/2, chegamos a
T(0)=Ts+q''',R^24k

Passo 3

Calculamos o volume do fio e a taxa de geração volumétrica:
R=D2=0,0025 m, V=pi,R^2L =pi,(0,0025)^2(0,7) approx1,373times10^-5 m^3,
q'''=QV =20001,373times10^-5 approx1,456times10^8 W/m^3

Passo 4

Agora calculamos o acréscimo de temperatura no centro:
De<a T =q''',R^24k =1,456times10^8times(0,0025)^24times20 =1,456times10^8times6,25times10^-680 approx11,4 ^circC
Logo,
T(0)=Ts+De<a T =110^circC+11,4^circC approx121,4^circC

Resposta

A temperatura no centro do fio é aproximadamente 121,4^circC.

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