3^circ Questão (7 pontos)
O campo de velocidade em um bocal divergente, com comprimento L, tem a forma V=V0[1-(x2 L)] i. (a) Usando a abordagem culeriana calcule a aceleração do fluido em x - L. (b) Calcule o tempo necessário para a particula de fluido se deslocar de x=0 até x=L. (c) Usando a abordagem lagrangiana calcule a aceleração do fluido em x=L.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade unidimensional num bocal divergente de comprimento L:
V(x)=V0l[1-x2Lr],i
Pede:
(a) na abordagem Euleriana, a aceleração em x=L;
(b) o tempo que uma partícula leva para ir de x=0 a x=L;
(c) na abordagem Lagrangiana, a aceleração em x=L.

Passo 2

Na abordagem Euleriana, como o escoamento é estacionário, a aceleração é só o termo convectivo
aE = (Vcdotnabla),V
Como V=V(x),i, temos
aE = V,dVdxna direção i çã

Passo 3

Primeiro calculo
dVdx=ddxl[V0l(1-tfracx2Lr)r] =-V02L
Em seguida, em x=L
V(L)=V0l(1-tfracL2Lr)=V02
Logo
aE(L)=V(L),dVdx =V02,l(-V02Lr) =-V0^24L

Passo 4

Para achar o tempo de x=0 a x=L, resolvemos
dxdt=V0l(1-x2Lr)
Separamos variáveis:
integral0^Ldx1-tfracx2L =V0integral0^tdt
No lado esquerdo faça u=1-tfracx2L, daí
integral0^Ldx1-tfracx2L =2Lintegral1^1/2-duu =2Lln2
Então
V0,t=2Lln2 Longrightarrow t=2Lln2V0

Passo 5

Na abordagem Lagrangiana seguimos uma partícula: a aceleração material é
aL=dVdt =dVdx,dxdt =V,dVdx,
que é exatamente o mesmo termo convectivo do passo anterior. Logo em x=L temos
aL(L)=-V0^24L

Resposta

(a) aE(L)=-V0^24L
(b) t=2Lln2V0
(c) aL(L)=-V0^24L

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