Um fio cilíndrico de comprimento L e raio de seção reta r apresenta resistência R. Um outro fio, cuja resistividade é o dobro da primeira, o comprimento é o triplo, e o raio \mathrm{r} / 3, terá resistência igual a:
a) R / 54
b) 2 R
c) 6 R
d) 18 R
e) 54 R

Passo 1

O enunciado dá dois fios cilíndricos e pede a resistência do segundo em função da resistência do primeiro. Pergunta: qual é a resistência do segundo fio em termos de R (a resistência do primeiro)?\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{Primeiro fio: resistência }R,\; \text{comprimento }L,\; \text{raio }r,\; \text{resistividade } \rho.ê
\text{Segundo fio: resistividade }2\rho,\; \text{comprimento }3L,\; \text{raio }\frac{r}{3}.

Passo 2

Apresento a fórmula física básica que relaciona resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal:
R = \frac{\rho\,L}{A}.
Explicando cada símbolo:
\rho\\ \text{é a resistividade (unidade: }\Omega\cdot\text{m)},\quad L\\ \text{é o comprimento do fio (m)},\quad A\\ \text{é a área da seção transversal (m}^2\text{)},\quad R\\ \text{é a resistência (}\Omega\text{)}.éééáçãéê
Para um fio cilíndrico a área da seção reta é a área de um círculo de raio r:
A=\pi r^{2}.

Passo 3

Escrevo a resistência do primeiro fio usando a fórmula e a área A=\pi r^{2}:
R=\frac{\rho\,L}{\pi r^{2}}.
Isso é apenas reescrever a definição para o primeiro caso; aqui R, \rho, L e r são os valores iniciais dados no enunciado.

Passo 4

Agora escrevo a resistência do segundo fio, chamando-a de R_{2}. Para ele, substituo na fórmula os valores alterados: resistividade 2\rho, comprimento 3L, e raio \dfrac{r}{3}. Primeiro calculo a área do segundo fio:
A_{2}=\pi\left(\frac{r}{3}\right)^{2}=\pi\frac{r^{2}}{9}.
Então:
R_{2}=\frac{(2\rho)\,(3L)}{A_{2}}.

Passo 5

Substituo A_{2}=\pi\frac{r^{2}}{9} na expressão de R_{2}:
R_{2}=\frac{2\rho\cdot 3L}{\pi\frac{r^{2}}{9}}.

Passo 6

Faço a simplificação algébrica passo a passo. Primeiro multiplico numerador:
2\rho\cdot 3L = 6\rho L.
Então
R_{2}=\frac{6\rho L}{\dfrac{\pi r^{2}}{9}}.
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso, logo
R_{2}=6\rho L \cdot \frac{9}{\pi r^{2}}.
Multiplico os fatores numéricos:
6\cdot 9 = 54,
portanto
R_{2}=\frac{54\,\rho L}{\pi r^{2}}.

Passo 7

Compare R_{2} com a resistência original R=\dfrac{\rho L}{\pi r^{2}}. Observando:
R_{2}=\frac{54\,\rho L}{\pi r^{2}} = 54\cdot\frac{\rho L}{\pi r^{2}} = 54\,R.
Logo o segundo fio tem resistência 54 vezes maior que a do primeiro.

Resposta

54R

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