1. Um fio de cobre de área de seção transversal 0,5 \cdot 10^{-2} \mathrm{~cm}^{2} é percorrido por uma corrente de 2A. Considere \mathrm{e}=1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}.
    a) Calcule o número de elétrons que passam pela seção transversal do condutor em 4 segundos.
    b) Calcule a velocidade média dos elétrons, sabendo-se que existem 1,68.10^{22} elétrons por \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos. O problema dá:
  • Área da seção transversal do fio: A=0,5\cdot10^{-2}\\ \text{cm}^2.
  • Corrente elétrica: I=2\\ \text{A}.
  • Carga elementar: e=1,6\cdot10^{-19}\\ \text{C}.
  • Tempo pedido na parte (a): t=4\\ \text{s}.
  • Densidade de elétrons (parte b): n=1,68\cdot10^{22}\\ \text{el/cm}^3.
O que se pede:

(a) Calcular o número de elétrons que passam pela seção em 4\\ \text{s}.
(b) Calcular a velocidade média (velocidade de arraste) dos elétrons sabendo a densidade n.

Passo 2

Conceito útil para (a): a corrente elétrica é a carga que atravessa uma seção por unidade de tempo. A relação é
I=\frac{Q}{t},
onde Q é a carga total que atravessa a seção em tempo t. Cada elétron transporta carga e (em módulo), então se passam N elétrons a carga total é Q=Ne. Substituindo:
I=\frac{Ne}{t}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{It}{e}.
Aqui I é em ampères (C/s), t em segundos e e em coulombs, então a fórmula dá N (número adimensional de elétrons).

Passo 3

Cálculo numérico da parte (a). Substituindo os valores:
N=\frac{It}{e}=\frac{2\cdot 4}{1,6\cdot10^{-19}}=\frac{8}{1,6\cdot10^{-19}}.
Dividindo 8 por 1,6 5, e o fator 10^{-19} no denominador passa para o numerador como 10^{19}. Logo
N=5\cdot10^{19}.
Isso significa que aproximadamente 5\cdot10^{19} elétrons atravessam a seção em 4\\ \text{s}.

Passo 4

Conceito útil para (b): relação entre corrente, densidade de portadores e velocidade de arraste. A densidade de corrente (corrente por área) é
J = n e v_d,
onde J é a densidade de corrente (em A/m ^2), n é o número de elétrons por volume (em el/m ^3), e é a carga de um elétron e v_d é a velocidade média (velocidade de arraste). Como I=J A, obtemos
I = n e v_d A \quad\Rightarrow\quad v_d=\frac{I}{n e A}.
Aqui explico cada variável:
  • I: corrente pelo fio (A = C/s).
  • n: número de elétrons por volume (el/m ^3).
  • e: carga de cada elétron (C).
  • A: área da seção transversal (m ^2).
  • v_d: velocidade média dos elétrons (m/s).

Passo 5

Consistência de unidades: precisamos colocar n e A no SI (métrico padrão) antes de usar a fórmula. Conversões:
1\\ \text{cm}^3 = 10^{-6}\\ \text{m}^3,\qquad 1\\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\\ \text{m}^2.
Aplicando ao problema:
n = 1,68\cdot10^{22}\\ \text{el/cm}^3 = 1,68\cdot10^{22}\times10^{6}\\ \text{el/m}^3 = 1,68\cdot10^{28}\\ \text{el/m}^3.
Para a área, primeiro escrevemos A de forma conveniente:
A=0,5\cdot10^{-2}\\ \text{cm}^2 = 5,0\cdot10^{-3}\\ \text{cm}^2.
Convertendo para m ^2:
A=5,0\cdot10^{-3}\times10^{-4}\\ \text{m}^2 = 5,0\cdot10^{-7}\\ \text{m}^2.

Passo 6

Substituição na fórmula de v_d. Temos I=2\\ \text{A}, n=1,68\cdot10^{28}\\ \text{m}^{-3}, e=1,6\cdot10^{-19}\\ \text{C}, A=5,0\cdot10^{-7}\\ \text{m}^2. Então
v_d=\frac{I}{n e A}=\frac{2}{(1,68\cdot10^{28})(1,6\cdot10^{-19})(5,0\cdot10^{-7})}.

Passo 7

Fazer a conta passo a passo (coeficientes e potências de 10 separadas). Primeiro os coeficientes:
1,68\times1,6\times5,0 = 1,68\times1,6\times5 = 13,44.
Agora as potências de 10:
10^{28}\times10^{-19}\times10^{-7}=10^{28-19-7}=10^{2}.
Portanto o denominador é
13,44\cdot10^{2}=1344.
Logo
v_d=\frac{2}{1344}=0,001488095\\ \text{m/s}\\ (\text{aprox.}).
Arredondando com três algarismos significativos:
v_d\approx 1,49\cdot10^{-3}\\ \text{m/s}.
Em unidades mais intuitivas, isso é
v_d\approx 1,49\\ \text{mm/s}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: a velocidade de arraste é muito pequena (da ordem de milímetros por segundo), o que é normal — os elétrons individualmente se movem devagar, mas a perturbação elétrica se propaga quase à velocidade da luz. Você já tem os dois resultados numéricos prontos para decorar/usar na prova.

Resposta

a) 5\cdot10^{19} elétrons
b) 1,49\cdot10^{-3}\\ \text{m/s} \;=\;1,49\\ \text{mm/s}

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