(Valor 2.5) Considere um circuito RLC em série ligado a um gerador de onda alternada. Faça um esboço de VR (tensão medida no resistor) em função da frequência da onda. (a) Indique a posição da frequência de ressonância no seu esboço. O valor esperado da frequência de ressonância depende de R ? Justifique sua resposta (b) O que é fator de qualidade.? Este fator depende do valor C da capacitância? Se sim qual a dependência? Como poderiamos determinar o fator de qualidade deste circuito a partir dos dados experimentais ( curva Vr versus f)? (c) Qual deve ser a diferença de fase entre VG (tensão no gerador) e VR (tensão no resistor) na condição de ressonância? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um circuito RLC em série ligado a um gerador de onda alternada e pede três coisas principais:
Fazer um esboço de V_R (amplitude da tensão no resistor) em função da frequência f e indicar a posição da frequência de ressonância; dizer se a frequência de ressonância depende de R e justificar.
Explicar o que é fator de qualidade Q; dizer se Q depende de C e como; e explicar como determinar Q experimentalmente a partir da curva V_R versus f.
Dizer qual é a diferença de fase entre V_G (tensão do gerador) e V_R na condição de ressonância e justificar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (implícitas no problema):
O circuito é série: componentes ligados em sequência — resistor R, indutor L e capacitor C.
O gerador fornece uma tensão senoidal de frequência variável f (ou pulsação \omega=2\pi f).
Queremos a resposta em amplitude e fase, em função da frequência.
Passo 2
Escrever a impedância do circuito e a expressão da corrente e de V_R.
Expliquei: a fórmula vem de aplicar a Lei de Ohm complexa no circuito série — a corrente é a mesma em todos os elementos; a amplitude é o módulo da tensão dividido pelo módulo da impedância.
Passo 3
Determinar a frequência onde V_R(\omega) é máxima (ressonância) e obter a expressão para f_0.
A amplitude V_R(\omega) é máxima quando o denominador \sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2} é mínimo. O termo (\omega L-\dfrac{1}{\omega C})^2 é sempre não-negativo e atinge zero quando
Observação didática: o máximo ocorre quando a reatância indutiva \omega L cancela a reatância capacitiva \dfrac{1}{\omega C}. Nesse ponto o circuito fica “puramente resistivo” (impedância real igual a R).
Passo 4
Responder se f_0 depende de R e justificar claramente.
Da expressão obtida,
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},
não aparece R. Portanto, para o RLC série ideal (com gerador ideal), a frequência de ressonância teórica f_0 não depende de R. Justificativa física: o cancelamento das reatâncias indutiva e capacitiva depende apenas de L e C; a resistência apenas reduz a amplitude da corrente e alarga a resposta em frequência, não desloca a frequência em que as reatâncias se anulam.
Comentário prático: para valores muito grandes de R (forte amortecimento), o pico fica muito achatado e pode ser difícil identificar precisamente f_0 experimentalmente, mas a fórmula teórica continua sem R.
Passo 5
Esboço qualitativo de V_R versus f e principais características do gráfico.
Descrição do esboço (como desenhar na prova):
No eixo horizontal coloque f (em escala log ou linear) e no eixo vertical V_R (amplitude).
A curva tem a forma de um pico único (forma de Lorentziana) centrado em f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Em \omega=\omega_0 o denominador fica R, então a amplitude máxima é
Ou seja, para gerador ideal a tensão na resistência atinge a amplitude do gerador no ponto de ressonância.
Para f muito abaixo de f_0 (capacitor domina), e para f muito acima de f_0 (indutor domina), o termo |\omega L-1/(\omega C)| domina e V_R tende a valores pequenos.
A largura do pico aumenta com R (maior amortecimento → pico mais largo e menor amplitude máxima relativa), e o pico fica mais afiado quanto menor for R.
Se precisar desenhar: rascunhe um pico simétrico em escala de \omega com topo em f_0, altura V_G, e largura caracterizada pela banda \Delta f (ver passo sobre Q).
Passo 6
Definição do fator de qualidade Q e expressão para o RLC série.
Uma definição física conveniente para circuito RLC série é
Q=\frac{\text{energia armazenada por ciclo}}{\text{energia dissipada por ciclo}}.
De forma prática, para o RLC série com parâmetros R,L,C usa-se a expressão
Q=\frac{\omega_0 L}{R}.
Usando \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} podemos escrever também
Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{\omega_0 R C}.
Expliquei: Q mede “quão afiado” é o pico de ressonância — quanto maior Q, mais concentrada fica a resposta em torno de f_0.
Passo 7
Dependência de Q com C.
Das fórmulas acima, por exemplo
Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},
vemos que Q depende de C como Q\propto 1/\sqrt{C} (mantendo R e L fixos). Assim, aumentando C (com L,R constantes), Q diminui; diminuindo C, Q aumenta.
Passo 8
Como determinar Q experimentalmente a partir da curva V_R versus f.
Método prático (o mais usado):
Meça a frequência de pico f_0 onde V_R é máxima.
Determine as duas frequências f_1 e f_2 (uma abaixo e outra acima de f_0) às quais a amplitude V_R cai até o valor V_{R,\text{max}}/\sqrt{2}. Esse critério vem de potência (como P_R\propto V_R^2, a potência cai à metade quando V_R cai a 1/\sqrt{2} da máxima).
Defina a largura de banda \Delta f=f_2-f_1.
Então
Q=\frac{f_0}{\Delta f}.
Observações e justificativas: como V_R é proporcional à corrente I, o critério de meio-potência corresponde a I=I_{\max}/\sqrt{2}, que é o ponto onde a potência dissipada P=I^2R é a metade da máxima. Esta é a definição prática de largura à meia potência (FWHM em termos de potência).
Exemplo numérico rápido (metodológico): se do experimento achar f_0=1{,}000\\ \text{Hz}, f_1=980\\ \text{Hz} e f_2=1{,}020\\ \text{Hz}, então \Delta f=40\\ \text{Hz} e Q=1000/40=25.
Passo 9
Valor de V_{R,\text{max}} e valor de V_R nos pontos de meia-potência (importante para medir f_1,f_2).
No ponto de ressonância, já vimos que a impedância é Z=R e portanto a corrente máxima é I_{\max}=V_G/R. Assim
V_{R,\text{max}}=I_{\max}R=V_G.
Nos pontos de meia-potência queremos V_R=V_{R,\text{max}}/\sqrt{2}=V_G/\sqrt{2}. Então experimentalmente procuramos estas frequências na curva de V_R.
Passo 10
Diferença de fase entre V_G e V_R na ressonância — justificativa.
No domínio das fasores, a tensão do gerador satisfaz
\underline{V}_G=\underline{I}\,Z(\omega).
No ponto de ressonância \omega=\omega_0 temos Z(\omega_0)=R (número real, sem parte imaginária). Isso significa que a corrente \underline{I} está em fase com \underline{V}_G (a relação é multiplicação por um real positivo). A tensão no resistor é \underline{V}_R=\underline{I}R, que também está em fase com \underline{I}. Portanto, na ressonância:
V_G e I estão em fase,
V_R e I estão em fase,
logo V_G e V_R estão em fase.
Conclusão: a diferença de fase entre V_G e V_R na condição de ressonância é zero (ou seja, defasagem de 0 radianos / 0^\circ).
Resposta
(a) Esboço: curva com pico (forma lorentziana) centrado em f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}; o pico atinge V_{R,\text{max}}=V_G. A frequência de ressonância não depende de R (pois \omega_0=1/\sqrt{LC} não contém R).
(b) Fator de qualidade: Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{1}{\omega_0 R C}. Sim, Q depende de C como Q\propto 1/\sqrt{C} (com L,R fixos). Experimentalmente, obter f_0 (pico) e medir \Delta f=f_2-f_1 onde V_R=V_{R,\text{max}}/\sqrt{2}; então Q=f_0/\Delta f.
(c) Diferença de fase entre V_G e V_R na ressonância: 0 (estão em fase), porque em \omega_0 a impedância é puramente real Z=R.