1. Para o silício intrínseco, a condutividade elétrica à temperatura ambiente é de 4.10^{-4} \Omega^{-1} m^{-1}. As mobilidades dos elétrons e das lacunas são respectivamente, de 0,14 m^{2} / V. se 0,048 m^{2} / V . s. Calcule a concentração de elétrons e de lacunas à temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as concentrações de elétrons e de lacunas (holes) no silício intrínseco à temperatura ambiente, usando a condutividade elétrica dada e as mobilidades fornecidas. Dados fornecidos:
\sigma = 4\cdot10^{-4}\\ \Omega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}
\mu_{n} = 0,14\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{V}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}
\mu_{p} = 0,048\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{V}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}
Não foi dada outra informação; o silício é descrito como intrínseco (ou seja, concentração de elétrons igual à de lacunas).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (expliquei passo a passo): em semicondutores a condutividade elétrica é dada por
\sigma = q\bigl(n\mu_{n}+p\mu_{p}\bigr),
onde:
  • \sigma é a condutividade elétrica (unidade \Omega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1});
  • q é a carga elementar do elétron, q\approx 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • n é a concentração de elétrons livres (unidade \mathrm{m}^{-3});
  • p é a concentração de lacunas (holes) (unidade \mathrm{m}^{-3});
  • \mu_{n} e \mu_{p} são as mobilidades dos elétrons e lacunas, respectivamente (unidade \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{V}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}).
Verificação de unidades (rápido): q em C = A·s; n em m^{-3}; \mu em m^{2}/(V·s). Produtos dão A/(V·m) = S/m = \Omega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}, que é compatível com \sigma. Isso garante que a fórmula está consistente para calcular n e p.

Passo 3

Como o silício é intrínseco, vale
n = p = n_{i},
onde n_{i} é a concentração intrínseca. Substituindo na fórmula da condutividade:
\sigma = q\,n_{i}\bigl(\mu_{n}+\mu_{p}\bigr).
Isolando n_{i}:
n_{i}=\frac{\sigma}{q\bigl(\mu_{n}+\mu_{p}\bigr)}.
Essa é a expressão que usaremos para calcular a concentração de elétrons e de lacunas.

Passo 4

Agora calculamos numericamente passo a passo.
  1. Soma das mobilidades:
\mu_{n}+\mu_{p}=0,14+0,048=0,188\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{V}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
  1. Produto q(\mu_{n}+\mu_{p}):
q(\mu_{n}+\mu_{p})=(1,602\times10^{-19})\cdot0,188.
Calcule a mantissa e o expoente:
1,602\cdot0,188=0,301176,
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q(\mu_{n}+\mu_{p})=0,301176\times10^{-19}=3,01176\times10^{-20}\\ \text{(unidades: C·m}^{2}\text{/(V·s)}).

Passo 5

Dividimos a condutividade por esse produto para obter n_{i}:
n_{i}=\frac{4\cdot10^{-4}}{3,01176\times10^{-20}}.
Compute separando mantissas e potências de 10:
\frac{4}{3,01176}\approx1,32876,
e a potência de 10 é 10^{-4-(-20)}=10^{16}. Portanto
n_{i}\approx1,32876\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Arredondando de forma adequada (duas casas significativas, compatível com os dados):
n_{i}\approx1,33\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3}.

Passo 6

Conversão para \mathrm{cm}^{-3}, que é uma unidade comum em semicondutores. Lembre que 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}. Então
n_{i}\\ (\mathrm{cm}^{-3})=\frac{1,33\times10^{16}}{10^{6}}=1,33\times10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Como n=p=n_{i}, as concentrações de elétrons e de lacunas são iguais ao valor calculado. Dica de prova: escreva a relação \sigma=q(n\mu_n+p\mu_p) e use n=p para simplificar — é rápido e seguro.

Resposta

n = 1,33\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3} = 1,33\times10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}\n
p = 1,33\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3} = 1,33\times10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}

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