Um fio de cobre com calibre 18 ( 0,048 in, geralmente usado nos fios que ligam lâmpadas) possui um diâmetro nominal igual a 1,02 \mathrm{~mm}. Esse fio está conectado a uma lâmpada de 200 W e conduz uma corrente de 1,67 \mathrm{~A}. A densidade dos elétrons livres é de 8,50 \cdot 10^{28} elétrons por metro cúbico.
Diante dessas informações, calcule:
a) o módulo da densidade de corrente;
b) o módulo da velocidade de arraste;
c) o tempo que cada elétron livre levaria para percorrer 1,00 \mathrm{~m} de fio.
Fonte: adaptado de Exemplo 25.1 da referência 2.

Passo 1

O enunciado dá um fio de cobre de diâmetro d=1,02\\ \mathrm{mm} por onde passa uma corrente de intensidade I=1{,}67\\ \mathrm{A}. A densidade de elétrons livres é n=8{,}50\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}. Pede-se
a) o módulo da densidade de corrente J,
b) o módulo da velocidade de arraste v_d,
c) o tempo t para um elétron percorrer 1{,}00\\ \mathrm{m} de fio.
Para resolver vamos usar as fórmulas
J=\frac{I}{A},\quad v_d=\frac{J}{n\,e},\quad t=\frac{L}{v_d},
onde A é a área da seção, e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e L=1{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a área da seção reta do fio, que é circular com raio r=\tfrac{d}{2}:
r=\frac{1{,}02\times10^{-3}}{2}=0{,}51\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
A=\pi r^2 =\pi\bigl(0{,}51\times10^{-3}\bigr)^2 \approx8{,}17\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Usar J=I/A para achar a densidade de corrente:
J=\frac{1{,}67}{8{,}17\times10^{-7}} \approx2{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{A\!/\!m^2}.

Passo 4

Calcular a velocidade de arraste pela relação v_d=J/(n\,e):
v_d=\frac{2{,}04\times10^{6}}{(8{,}50\times10^{28})(1{,}602\times10^{-19})} \approx1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar o tempo para percorrer L=1{,}00\\ \mathrm{m} com velocidade v_d:
t=\frac{L}{v_d} =\frac{1{,}00}{1{,}50\times10^{-4}} \approx6{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) J\approx2{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{A\!/\!m^2}.
b) v_d\approx1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
c) t\approx6{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{s}.

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