Um fio de cobre de raio a=0,250 \mathrm{~mm} tem uma capa de alumínio de raio externo b=0,380 \mathrm{~mm}. A corrente no fio composto é i=2,00 \mathrm{~A}. Calcule a intensidade da corrente elétrica (a) no cobre e no (b) alumínio. (c) Se uma diferença de potencial V=12,0 \mathrm{~V} produz corrente elétrica, qual é o valor do comprimento do fio composto? Considere \rho_{\text {cobre }}=1,69 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{m} e \rho_{\text {alumínio }}=2,75 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m}í.
Resposta: (a) i_{\text {cobre }}=1,11 \mathrm{~A}, (b) i_{\text {alumínio }}=0,893 \mathrm{~A}í, (c) L=126 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve um fio composto por um núcleo de cobre de raio a=0,250,mm e uma capa de alumínio de raio externo b=0,380,mm, percorrido por uma corrente total i=2,00,A. Pede-se (a) a corrente no cobre, (b) a corrente no alumínio e (c) o comprimento L do fio se uma diferença de potencial V=12,0,V for aplicada. O conteúdo envolvido é divisão de corrente em condutores em paralelo e resistência elétrica.

Passo 2

Modelamos o cobre e o alumínio como dois condutores em paralelo, cujas resistências por unidade de comprimento são
R'_c = \frac{\rho_{\rm cobre}}{A_c}, \quad R'_a = \frac{\rho_{\rm alumínio}}{A_a},í
onde A_c é a área da seção do cobre e A_a a área da seção da capa de alumínio.

Passo 3

Calculamos as áreas:
A_c = \pi a^2, \quad A_a = \pi\bigl(b^2 - a^2\bigr).
Substituindo a=2{,}50\times10^{-4},m e b=3{,}80\times10^{-4},m, vem
A_c = \pi(2{,}50\times10^{-4})^2\approx1{,}96\times10^{-7}\,\mathrm{m}^2, \quad A_a = \pi\bigl[(3{,}80\times10^{-4})^2-(2{,}50\times10^{-4})^2\bigr]\approx2{,}57\times10^{-7}\,\mathrm{m}^2.
Então as condutâncias por unidade de comprimento são
G'_c = \frac{1}{R'_c} = \frac{A_c}{\rho_{\rm cobre}}, \quad G'_a = \frac{1}{R'_a} = \frac{A_a}{\rho_{\rm alumínio}}.í

Passo 4

A corrente se divide conforme
i_c = i\;\frac{G'_c}{G'_c + G'_a}, \quad i_a = i - i_c.
Numericamente,
G'_c = \frac{1{,}96\times10^{-7}}{1{,}69\times10^{-8}}\approx11{,}6\quad\mathrm{S/m}, \quad G'_a = \frac{2{,}57\times10^{-7}}{2{,}75\times10^{-8}}\approx9{,}36\quad\mathrm{S/m},
i_c = 2{,}00\,\mathrm{A}\times\frac{11{,}6}{11{,}6+9{,}36}\approx1{,}11\,\mathrm{A}, \quad i_a = 2{,}00\,\mathrm{A}-1{,}11\,\mathrm{A}=0{,}89\,\mathrm{A}.

Passo 5

A resistência total por unidade de comprimento é
R'_{\rm tot} = \frac{1}{G'_c + G'_a}\approx\frac{1}{11{,}6+9{,}36}\approx0{,}0477\;\Omega/\mathrm{m}.
Como V = i\,R_{\rm tot} = i\,(R'_{\rm tot}\,L), segue
L = \frac{V}{i\,R'_{\rm tot}} = \frac{12{,}0}{2{,}00\times0{,}0477}\approx126\;\mathrm{m}.

Resposta

(a) i_{\rm cobre}=1{,}11,A
(b) i_{\rm alumínio}=0{,}89í,A
(c) L=126,m

Exercícios relacionados