Um fio de comprimento
é cortado em dois pedaços e esses tomam a forma de uma circunferência e de um quadrado. Se
é o lado do quadrado, exprima a área total englobada pelas duas figuras como uma função de
.
Passo 1
Estamos lidando com um problema de geometria envolvendo perímetro e área. Temos um fio de comprimento
que é cortado em duas partes: uma forma um círculo e a outra um quadrado. Queremos encontrar a área total dessas duas figuras em função do lado do quadrado
. Para isso, vamos precisar das fórmulas de perímetro e área do quadrado e do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o perímetro do quadrado com o comprimento do fio. O perímetro de um quadrado é dado por
. Isso significa que a parte do fio usada para o quadrado é
.
Passo 3
O restante do fio forma a circunferência do círculo. O comprimento total do fio é
, então o comprimento do fio usado no círculo é
. O perímetro do círculo é igual ao seu comprimento, e sabemos que a circunferência é
, onde
é o raio do círculo. Então, temos:
Passo 4
Vamos agora encontrar o raio
em função de
. Isolando
na equação anterior:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área do quadrado e a área do círculo. A área do quadrado é dada por
.
Passo 6
A área do círculo é
. Substituindo
por
, temos:
Passo 7
A área total é a soma das áreas do quadrado e do círculo:
Resposta
A área total englobada pelas duas figuras em função de
é: