Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços e esses tomam a forma de uma circunferência e de um quadrado. Se x é o lado do quadrado, exprima a área total englobada pelas duas figuras como uma função de x.

Passo 1

Estamos lidando com um problema de geometria envolvendo perímetro e área. Temos um fio de comprimento que é cortado em duas partes: uma forma um círculo e a outra um quadrado. Queremos encontrar a área total dessas duas figuras em função do lado do quadrado . Para isso, vamos precisar das fórmulas de perímetro e área do quadrado e do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o perímetro do quadrado com o comprimento do fio. O perímetro de um quadrado é dado por . Isso significa que a parte do fio usada para o quadrado é .

Passo 3

O restante do fio forma a circunferência do círculo. O comprimento total do fio é 2pi r = L - 4x , então o comprimento do fio usado no círculo é . O perímetro do círculo é igual ao seu comprimento, e sabemos que a circunferência é , onde é o raio do círculo. Então, temos:

Passo 4

Vamos agora encontrar o raio r = L - 4x2pi em função de . Isolando na equação anterior:

Passo 5

Agora, vamos calcular a área do quadrado e a área do círculo. A área do quadrado é dada por .

Passo 6

A área do círculo é Acírculo = pi ( L - 4x2pi )^2 = (L - 4x)^24pi í. Substituindo por , temos:
í

Passo 7

A área total é a soma das áreas do quadrado e do círculo:
Atotal(x) = x^2 + (L - 4x)^24pi

Resposta

A área total englobada pelas duas figuras em função de Atotal(x) = x^2 + dfrac(L - 4x)^24pi é:

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