Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
© delimitado por
e
no primeiro octante.
© delimitado por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (x\u22650, y\u22650, z\u22650), limitado pelo cilindro x²+z²=9, pelo plano z=0, pelo plano y=0 e pelo plano y=2x. O conteúdo é volume via integrais duplas, usando projeção no plano xz e integrando em y de 0 a 2x.
Passo 2
Primeiro identificamos a região D de projeção no plano xz. Como estamos no primeiro octante e dentro de x²+z²\u22649, temos 0\u2264x\u22643 e, para cada x, 0\u2264z\u2264√(9−x²). Em y, fica 0\u2264y\u22642x.
Passo 3
O volume V é dado por V=\n
Passo 4
Agora calculamos a integral em z e depois em x. Primeiro, integração em z: \n \n Em seguida em x, usando u=9−x², du=−2x dx: \n
Resposta
18