Um fio condutor de determinado material, possui uma resistência de 10 \Omega. Ao pegarmos um segundo fio, feito do mesmo material, porém com o quadruplo do comprimento e metade da área da secção transversal. Determine a resistência do segundo fio.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações claras:
  • A resistência do primeiro fio é \,R_1=10\\ \Omega\,.
  • O segundo fio é do mesmo material que o primeiro, logo tem a mesma resistividade (um mesmo \rho).
  • O comprimento do segundo fio é o quadruplo do primeiro: \,L_2=4L_1\,.
  • A área da secção transversal do segundo fio é a metade da do primeiro: \,A_2=\tfrac{1}{2}A_1\,.
O que se pede: determinar a resistência do segundo fio, isto é \,R_2.

Passo 2

Fórmula fundamental: a resistência elétrica de um fio homogêneo e retilíneo é dada por
R=\rho\frac{L}{A}.
Explicando cada símbolo:
  • \,R é a resistência, em \Omega (ohms).
  • \,\rho é a resistividade do material, em \Omega\cdot\text{m}.
  • \,L é o comprimento do fio, em \text{m}.
  • \,A é a área da secção transversal, em \text{m}^2.
Intuição rápida: aumentar o comprimento aumenta o caminho que os elétrons percorrem (mais colisões) e aumenta a resistência; aumentar a área dá mais “pistas” para a corrente passar e diminui a resistência.

Passo 3

Escrevendo a fórmula para o primeiro fio:
R_1=\rho\frac{L_1}{A_1}.
Sabemos numericamente que \,R_1=10\\ \Omega\,, mas por enquanto guardamos a forma algébrica pois será útil para comparação.

Passo 4

Escrevendo a fórmula para o segundo fio e substituindo as relações entre comprimentos e áreas:
R_2=\rho\frac{L_2}{A_2}=\rho\frac{4L_1}{\tfrac{1}{2}A_1}.

Passo 5

Simplificando a expressão anterior:
R_2=\rho\left(\frac{4}{\tfrac{1}{2}}\right)\frac{L_1}{A_1}=\rho\cdot 8\cdot\frac{L_1}{A_1}.
Mas \,\rho\frac{L_1}{A_1}=R_1. Logo
R_2=8R_1.
Interpretação rápida: quadruplar o comprimento multiplica a resistência por 4; reduzir a área à metade multiplica a resistência por 2; juntos dão o fator 4\times 2=8.

Passo 6

Agora que temos a relação \,R_2=8R_1, basta usar o valor dado de \,R_1 para obter o valor numérico final (faça a multiplicação simples na prova sem calculadora).

Resposta

80\\ \Omega

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