- Um fio condutor infinito possui um deformação na forma de um semicírculo de raio
. Qual é o campo
produzido pelo fio se sobre ele existe uma corrente de 1A?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um fio condutor é “infinito” exceto por uma deformação em forma de semicírculo de raio
. - A corrente que percorre o fio é
. - Pergunta: “Qual é o campo
produzido pelo fio?”
Observação importante sobre o enunciado: o ponto onde o campo deve ser calculado não foi explicitado. O enunciado típico desse tipo de problema pede o campo no centro do semicírculo (o centro de curvatura). Vou assumir essa interpretação (campo no centro do semicírculo). Se a sua prova pedir o campo em outro ponto, avise, porque o resultado muda.
Dados numéricos que usarei (convertendo unidades):
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
Vou usar superposição: o campo total no centro é soma vetorial dos campos produzidos pelas três partes do fio que contribuem ali:
- o arco semicircular,
- os dois trechos retos que saem tangentes aos extremos do semicírculo e continuam “infinito” (cada um é efetivamente um fio semi-infinito visto a partir do centro).
Para calcular o campo criado por cada trecho uso a Lei de Biot–Savart e resultados padrão que derivam dela (explicarei as fórmulas usadas). A Lei de Biot–Savart em forma conceitual diz que um elemento de corrente
produz um campo diferencial no ponto
dado por
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é vetor elemento de comprimento na direção da corrente, -
é o vetor que vai do elemento até o ponto onde se calcula o campo, -
é e é a distância do elemento ao ponto.
Do Biot–Savart saem fórmulas práticas:
- campo no centro de um arco de raio
e ângulo (em rad) é
direção perpendicular ao plano do arco (determinada pela regra da mão direita).
- campo a uma distância
de um fio retilíneo infinito é
Um fio semi-infinito (com extremidade próxima ao ponto e o resto indo para o infinito) dá metade desse valor:
Vou aplicar essas fórmulas com
e
(semicírculo).
Passo 3
Cálculo do campo produzido pelo arco semicircular.
Usando a fórmula para arco com ângulo
:
Aqui
(semicírculo), logo
Explicação breve do porquê dessa fórmula (passo-a-passo do integral):
- Para um arco de raio
, cada elemento está à distância do centro e tem magnitude . - Então
. - Integrando
de 0 a dá .
Substituindo números:
Como
,
Passo 4
Cálculo do campo produzido pelos trechos retos (dois semi-infinito).
Cada trecho reto que sai tangente ao semicírculo e vai para o infinito pode ser visto, em relação ao centro do semicírculo, como um fio semi-infinito cuja distância perpendicular ao centro é
. Para um fio semi-infinito a uma distância
do ponto, o campo tem magnitude
Aqui
, então cada trecho dá
Como há dois trechos idênticos (um à esquerda, outro à direita do semicírculo), e ambos contribuem no mesmo sentido no centro, o total dos trechos retos é
Numericamente:
Breve justificativa conceitual: um fio retilíneo infinito dá
. Duas metades semi-infinitas equivalem a um fio infinito completo se fossem colineares; aqui, apesar de não serem colineares entre si, cada uma sozinha dá metade do campo de um fio infinito à distância
, portanto cada uma contribui
.
Passo 5
Soma das contribuições e direção do campo.
O campo total no centro é soma escalar (as direções são todas perpendiculares ao plano do arco e das retas e, pela regra da mão direita, todas têm o mesmo sentido se a corrente percorre continuamente o fio):
Colocando em fator comum:
Substituindo
,
e
, já calculamos as partes:
logo
Direção (como escrever no gabarito): o vetor
é perpendicular ao plano do semicírculo. Pelo sentido da corrente, usa-se a regra da mão direita para determinar se
sai da página (
) ou entra na página (
). Se for necessário um sinal explícito, pode-se escrever
onde o sinal depende do sentido da corrente (o mais comum é escolher o sentido da corrente e aplicar a regra da mão direita para fixar o
).
Passo 6
Resumo final em forma limpa (fórmula e valor numérico).
Fórmula compacta:
onde
é o versor perpendicular ao plano do semicírculo (determinado pela regra da mão direita; escolha o sinal conforme o sentido da corrente).
Substituindo
e
: