1. Um fio condutor infinito possui um deformação na forma de um semicírculo de raio r=1 \mathrm{~cm}. Qual é o campo \vec{B} produzido pelo fio se sobre ele existe uma corrente de 1A?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um fio condutor é “infinito” exceto por uma deformação em forma de semicírculo de raio r=1\\ \text{cm}.
  • A corrente que percorre o fio é I=1\\ \text{A}.
  • Pergunta: “Qual é o campo \vec{B} produzido pelo fio?”
Observação importante sobre o enunciado: o ponto onde o campo deve ser calculado não foi explicitado. O enunciado típico desse tipo de problema pede o campo no centro do semicírculo (o centro de curvatura). Vou assumir essa interpretação (campo no centro do semicírculo). Se a sua prova pedir o campo em outro ponto, avise, porque o resultado muda.
Dados numéricos que usarei (convertendo unidades):
r = 1\\ \text{cm} = 0{,}01\\ \text{m},\qquad I=1\\ \text{A}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
Vou usar superposição: o campo total no centro é soma vetorial dos campos produzidos pelas três partes do fio que contribuem ali:
  • o arco semicircular,
  • os dois trechos retos que saem tangentes aos extremos do semicírculo e continuam “infinito” (cada um é efetivamente um fio semi-infinito visto a partir do centro).
Para calcular o campo criado por cada trecho uso a Lei de Biot–Savart e resultados padrão que derivam dela (explicarei as fórmulas usadas). A Lei de Biot–Savart em forma conceitual diz que um elemento de corrente I\,\mathrm{d}\vec{\ell} produz um campo diferencial no ponto \vec{r} dado por
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r}}{r^2},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}),
  • \mathrm{d}\vec{\ell} é vetor elemento de comprimento na direção da corrente,
  • \vec{r} é o vetor que vai do elemento até o ponto onde se calcula o campo,
  • \hat{r} é \vec{r}/r e r é a distância do elemento ao ponto.
Do Biot–Savart saem fórmulas práticas:
  • campo no centro de um arco de raio r e ângulo \varphi (em rad) é
B_{\text{arco}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\varphi,
direção perpendicular ao plano do arco (determinada pela regra da mão direita).
  • campo a uma distância d de um fio retilíneo infinito é
B_{\infty}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.
Um fio semi-infinito (com extremidade próxima ao ponto e o resto indo para o infinito) dá metade desse valor:
B_{\text{semi-infinito}}=\frac{1}{2}B_{\infty}=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}.
Vou aplicar essas fórmulas com d=r e \varphi=\pi (semicírculo).

Passo 3

Cálculo do campo produzido pelo arco semicircular.
Usando a fórmula para arco com ângulo \varphi:
B_{\text{arco}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\varphi.
Aqui \varphi=\pi (semicírculo), logo
B_{\text{arco}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\pi=\frac{\mu_0 I}{4 r}.
Explicação breve do porquê dessa fórmula (passo-a-passo do integral):
  • Para um arco de raio r, cada elemento \mathrm{d}\ell=r\,\mathrm{d}\varphi está à distância r do centro e \mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r} tem magnitude r\,\mathrm{d}\varphi.
  • Então \mathrm{d}B=(\mu_0/4\pi)\,I\,(r\,\mathrm{d}\varphi)/r^2=(\mu_0 I/4\pi r)\,\mathrm{d}\varphi.
  • Integrando \varphi de 0 a \pi \mu_0 I/(4 r).
Substituindo números:
B_{\text{arco}}=\frac{\mu_0\cdot1}{4\cdot0{,}01}=\frac{\mu_0}{0{,}04}.
Como \mu_0=4\pi\times10^{-7},
B_{\text{arco}}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{0{,}04}=\pi\times10^{-5}\\ \text{T}\approx 3{,}1416\times10^{-5}\\ \text{T}.

Passo 4

Cálculo do campo produzido pelos trechos retos (dois semi-infinito).
Cada trecho reto que sai tangente ao semicírculo e vai para o infinito pode ser visto, em relação ao centro do semicírculo, como um fio semi-infinito cuja distância perpendicular ao centro é r. Para um fio semi-infinito a uma distância d do ponto, o campo tem magnitude
B_{\text{semi}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}.
Aqui d=r, então cada trecho dá
B_{\text{semi}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}.
Como há dois trechos idênticos (um à esquerda, outro à direita do semicírculo), e ambos contribuem no mesmo sentido no centro, o total dos trechos retos é
B_{\text{retos}}=2\cdot\frac{\mu_0 I}{4\pi r}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Numericamente:
B_{\text{retos}}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot1}{2\pi\cdot0{,}01}=\frac{2\times10^{-7}}{0{,}01}=2{,}0\times10^{-5}\\ \text{T}.
Breve justificativa conceitual: um fio retilíneo infinito dá \mu_0 I/(2\pi r). Duas metades semi-infinitas equivalem a um fio infinito completo se fossem colineares; aqui, apesar de não serem colineares entre si, cada uma sozinha dá metade do campo de um fio infinito à distância r, portanto cada uma contribui \mu_0 I/(4\pi r).

Passo 5

Soma das contribuições e direção do campo.
O campo total no centro é soma escalar (as direções são todas perpendiculares ao plano do arco e das retas e, pela regra da mão direita, todas têm o mesmo sentido se a corrente percorre continuamente o fio):
B_{\text{total}}=B_{\text{arco}}+B_{\text{retos}} =\frac{\mu_0 I}{4 r}+\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Colocando em fator comum:
B_{\text{total}}=\frac{\mu_0 I}{4 r}\left(1+\frac{2}{\pi}\right).
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}, I=1 e r=0{,}01\\ \text{m}, já calculamos as partes:
B_{\text{arco}}\approx 3{,}1416\times10^{-5}\\ \text{T},\qquad B_{\text{retos}}=2{,}0\times10^{-5}\\ \text{T},
logo
B_{\text{total}}\approx 5{,}1416\times10^{-5}\\ \text{T}\approx 5{,}14\times10^{-5}\\ \text{T}.
Direção (como escrever no gabarito): o vetor \vec{B} é perpendicular ao plano do semicírculo. Pelo sentido da corrente, usa-se a regra da mão direita para determinar se \vec{B} sai da página ( +\hat{z}) ou entra na página ( -\hat{z}). Se for necessário um sinal explícito, pode-se escrever
\vec{B}=\pm\frac{\mu_0 I}{4 r}\left(1+\frac{2}{\pi}\right)\hat{z},
onde o sinal depende do sentido da corrente (o mais comum é escolher o sentido da corrente e aplicar a regra da mão direita para fixar o \pm).

Passo 6

Resumo final em forma limpa (fórmula e valor numérico).
Fórmula compacta:
\vec{B}=\frac{\mu_0 I}{4 r}\left(1+\frac{2}{\pi}\right)\hat{n},
onde \hat{n} é o versor perpendicular ao plano do semicírculo (determinado pela regra da mão direita; escolha o sinal conforme o sentido da corrente).
Substituindo I=1\\ \text{A} e r=0{,}01\\ \text{m}:
B=\frac{\mu_0}{4\cdot0{,}01}\left(1+\frac{2}{\pi}\right)\approx 5{,}14\times10^{-5}\\ \text{T}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_0 I}{4 r}\left(1+\frac{2}{\pi}\right)\hat{n}\quad\text{(direção }\hat{n}\text{ perpendicular ao plano do semicírculo, determinada pela regra da mão direita)}çãíã
\displaystyle B\approx 5{,}14\times10^{-5}\\ \text{T} (para I=1\\ \text{A} e r=1\\ \text{cm}).

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