1. Um longo condutor cilindro, de raio interno a e raio externo b, carrega uma densidade de corrente uniforme \vec{J}=J \hat{z}.
b) Encontre a densidade de corrente \vec{K}. (Dica: Use a descontinuidade de \vec{B} na presença de \vec{K}.)

Passo 1

O enunciado nos dá um longo condutor cilíndrico oco (um “tubo”) com raio interno a e raio externo b. No material do tubo, isto é para a<r<b, há uma densidade de corrente volumétrica uniforme
\vec{J}=J\,\hat{z}.
A pergunta (parte b) pede para encontrar a densidade de corrente superficial \vec{K} presente nas superfícies cilíndricas (se houver).
Informações relevantes listadas:
  • A corrente volumétrica existe somente na região a<r<b.
  • Fora dessa região \vec{J}=0.
  • Queremos \vec{K} nas superfícies r=a e r=b (se houver).
  • Dica do enunciado: usar a condição de descontinuidade de \vec{B} na presença de \vec{K}.

Passo 2

Vamos lembrar a teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
  1. Lei de Ampère (forma integral) para um fio longo com simetria cilíndrica, aplicada a uma circunferência de raio r coaxial com o cilindro:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração. Por simetria cilíndrica, \vec{B} será azimutal (na direção \hat{\varphi}) e depende só de r. Assim o contorno é uma circunferência de comprimento 2\pi r e a integral vira B(r)\,2\pi r.
  1. Condição de contorno que relaciona salto (descontinuidade) do campo magnético com uma densidade de corrente superficial \vec{K}:
\hat{n}\times\bigl(\vec{B}_{\text{fora}}-\vec{B}_{\text{dentro}}\bigr)=\mu_0\,\vec{K},
onde \hat{n} é o versor normal saindo da superfície (apontando do lado “dentro” para o “fora” conforme a orientação escolhida). Essa fórmula diz que se existir corrente superficial, \vec{B} tangencial sofre um salto proporcional a \vec{K}. Se não há corrente superficial, o lado esquerdo é zero e \vec{B} tangencial é contínuo.

Passo 3

Calculamos o campo magnético \vec{B} nas três regiões (antes de usar a condição de contorno). Região 1: r<a (cavidade interna).
  • Escolhemos um círculo de raio r<a. A corrente concebida dentro desse raio é zero, pois o material condutor está apenas para a<r<b. Logo I_{\text{enc}}=0.
  • Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r=\mu_0\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad B(r)=0.
  • Conclusão: para r<a,
\vec{B}(r)=\vec{0}.

Passo 4

Região 2: a<r<b (dentro do material condutor, a distância radial r está entre as superfícies).
  • A corrente total que atravessa uma circunferência de raio r é a corrente proveniente do volume do anel de raio interno a até r. Para um comprimento L do cilindro, a corrente é I_{\text{enc}}=J\times(\text{área da secção})=J\cdot \pi (r^2-a^2)áçã. Usamos L=1 em pensamento ou cancelamos L ao considerar densidades.
  • Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r=\mu_0 J\pi (r^2-a^2).
  • Simplificando ( \pi cancela):
B(r)=\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}.
  • A direção é azimutal \hat{\varphi}, portanto
\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}\,\hat{\varphi},\qquad a<r<b.

Passo 5

Região 3: r>b (fora do tubo).
  • A corrente total transportada por todo o tubo é
I_{\text{total}}=J\cdot \pi (b^2-a^2).
  • Pela lei de Ampère para um raio r>b,
B(r)\,2\pi r=\mu_0 I_{\text{total}}=\mu_0 J\pi (b^2-a^2).
  • Logo
B(r)=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2r},
e a direção é \hat{\varphi}:
\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2r}\,\hat{\varphi},\qquad r>b.

Passo 6

Verificamos continuidade de \vec{B} nas superfícies r=a e r=b tomando os limites apropriados.
  • Em r\to a^- (pela cavidade): \vec{B}=0.
  • Em r\to a^+ (pelo material, usando a expressão da Passo 4):
\lim_{r\to a^+}\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}=0,
pois r^2-a^2 tende a zero. Portanto \vec{B} é contínuo em r=a (não há salto).
  • Em r\to b^- (pelo material):
\lim_{r\to b^-}\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2b}.
  • Em r\to b^+ (fora):
\lim_{r\to b^+}\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2r}=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2b}.
Portanto \vec{B} também é contínuo em r=b. Em ambas as superfícies o campo tangencial não apresenta salto.

Passo 7

Aplicamos agora a condição de contorno que relaciona salto de \vec{B} e \vec{K}:
\hat{n}\times\bigl(\vec{B}_{\text{fora}}-\vec{B}_{\text{dentro}}\bigr)=\mu_0\,\vec{K}.
  • Para r=b: a normal externa é \hat{n}=\hat{r}. Vimos que \vec{B}_{\text{fora}}=\vec{B}_{\text{dentro}} na superfície, então \vec{B}_{\text{fora}}-\vec{B}_{\text{dentro}}=\vec{0}. Assim \mu_0\vec{K}=\vec{0} e portanto \vec{K}=\vec{0} em r=b.
  • Para r=a: escolha a normal apontando do interior do material para o lado do raio menor; seja qual for a orientação consistente, também encontramos \vec{B} contínuo (valendo zero dos dois lados), logo o salto é nulo e \vec{K}=\vec{0} em r=a.
Física intuição: uma densidade de corrente superficial \vec{K} existiria se houvesse uma corrente confinada exatamente à superfície (um termo delta). Aqui a corrente é distribuída volumetricamente até a borda; não há termo delta na superfície, portanto não há corrente superficial.

Resposta

\displaystyle \vec{K}=\vec{0}

Exercícios relacionados