- Um longo condutor cilindro, de raio interno
e raio externo
, carrega uma densidade de corrente uniforme
.
b) Encontre a densidade de corrente
. (Dica: Use a descontinuidade de
na presença de
.)
Passo 1
O enunciado nos dá um longo condutor cilíndrico oco (um “tubo”) com raio interno
e raio externo
. No material do tubo, isto é para
, há uma densidade de corrente volumétrica uniforme
A pergunta (parte b) pede para encontrar a densidade de corrente superficial
presente nas superfícies cilíndricas (se houver).
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A corrente volumétrica existe somente na região
. - Fora dessa região
. - Queremos
nas superfícies e (se houver). - Dica do enunciado: usar a condição de descontinuidade de
na presença de .
Passo 2
Vamos lembrar a teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
- Lei de Ampère (forma integral) para um fio longo com simetria cilíndrica, aplicada a uma circunferência de raio
coaxial com o cilindro:
onde
é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração. Por simetria cilíndrica,
será azimutal (na direção
) e depende só de
. Assim o contorno é uma circunferência de comprimento
e a integral vira
.
- Condição de contorno que relaciona salto (descontinuidade) do campo magnético com uma densidade de corrente superficial
:
onde
é o versor normal saindo da superfície (apontando do lado “dentro” para o “fora” conforme a orientação escolhida). Essa fórmula diz que se existir corrente superficial,
tangencial sofre um salto proporcional a
. Se não há corrente superficial, o lado esquerdo é zero e
tangencial é contínuo.
Passo 3
Calculamos o campo magnético
nas três regiões (antes de usar a condição de contorno). Região 1:
(cavidade interna).
- Escolhemos um círculo de raio
. A corrente concebida dentro desse raio é zero, pois o material condutor está apenas para . Logo . - Aplicando Ampère:
- Conclusão: para
,
Passo 4
Região 2:
(dentro do material condutor, a distância radial
está entre as superfícies).
- A corrente total que atravessa uma circunferência de raio
é a corrente proveniente do volume do anel de raio interno até . Para um comprimento do cilindro, a corrente é . Usamos em pensamento ou cancelamos ao considerar densidades. - Aplicando Ampère:
- Simplificando (
cancela):
- A direção é azimutal
, portanto
Passo 5
Região 3:
(fora do tubo).
- A corrente total transportada por todo o tubo é
- Pela lei de Ampère para um raio
,
- Logo
e a direção é
:
Passo 6
Verificamos continuidade de
nas superfícies
e
tomando os limites apropriados.
- Em
(pela cavidade): . - Em
(pelo material, usando a expressão da Passo 4):
pois
tende a zero. Portanto
é contínuo em
(não há salto).
- Em
(pelo material):
- Em
(fora):
Portanto
também é contínuo em
. Em ambas as superfícies o campo tangencial não apresenta salto.
Passo 7
Aplicamos agora a condição de contorno que relaciona salto de
e
:
- Para
: a normal externa é . Vimos que na superfície, então . Assim e portanto em . - Para
: escolha a normal apontando do interior do material para o lado do raio menor; seja qual for a orientação consistente, também encontramos contínuo (valendo zero dos dois lados), logo o salto é nulo e em .
Física intuição: uma densidade de corrente superficial
existiria se houvesse uma corrente confinada exatamente à superfície (um termo delta). Aqui a corrente é distribuída volumetricamente até a borda; não há termo delta na superfície, portanto não há corrente superficial.