Um fio condutor retilíneo e muito longo é percorrido por uma corrente elétrica \mathrm{i}=4,0 \mathrm{~A}. Sabendo que a permeabilidade magnética do meio é \mu=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}, pode-se afirmar que o módulo do campo magnético, a uma distância \mathrm{d}=0,5 \mathrm{~m} do fio é:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o módulo do campo magnético a uma certa distância do fio:
  • Corrente elétrica: \,i=4{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Permeabilidade magnética do meio: \,\mu=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Distância ao fio: \,d=0{,}5\\ \mathrm{m}.
O que se pede: calcular o módulo do campo magnético \,B a uma distância \,d do fio.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (a ideia por trás da fórmula).
  • Para um fio retilíneo e muito longo, o campo magnético tem linhas circulares concêntricas ao fio e, por simetria, o módulo do campo é constante em um círculo de raio r centrado no fio.
  • O Teorema de Ampère (Lei de Ampère) relaciona a circulação do campo magnético ao redor de um circuito fechado com a corrente elétrica envolvida:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu I_{\text{enc}}.
Aqui \vec{B} é o vetor campo magnético, d\vec{\ell} é um elemento do caminho fechado e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica atravessando a área delimitada pelo caminho.
  • Se escolhemos como caminho uma circunferência de raio r centrada no fio, pelo argumento de simetria o campo tem direção tangente ao caminho e módulo constante igual a B(r). Assim o produto escalar fica \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B\,d\ell e a integral vira B vezes o comprimento da circunferência:
B\cdot(2\pi r)=\mu I.
  • Isolando B obtemos a fórmula clássica para um fio infinito:
B(r)=\frac{\mu I}{2\pi r}.
Explicação dos símbolos:
  • \,B(r): módulo do campo magnético a uma distância r do fio (unidade: tesla, \mathrm{T}).
  • \,\mu: permeabilidade magnética do meio (unidade: \mathrm{T\cdot m/A}).
  • \,I: corrente que percorre o fio (unidade: ampère, \mathrm{A}).
  • \,r: distância radial ao fio (unidade: metro, \mathrm{m}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema com r=d. Substituímos:
B=\frac{\mu i}{2\pi d}.
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
B=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})\cdot(4{,}0)}{2\pi\cdot0{,}5}.

Passo 4

Simplificação algébrica cuidadosa (passo a passo):
  • Multiplicando o numerador: (4\pi\cdot10^{-7})\cdot4{,}0=16\pi\cdot10^{-7}.
  • O denominador é 2\pi\cdot0{,}5=\pi.
  • Dividindo: \dfrac{16\pi\cdot10^{-7}}{\pi}=16\cdot10^{-7}.
  • Escrevendo em potência decimal conveniente: 16\cdot10^{-7}=1{,}6\times10^{-6}.
Portanto o campo vale
B=1{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Conversão para unidades mais usuais (microtesla): como 1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T}, então
B=1{,}6\\ \mu\mathrm{T}.
Pequeno comentário de incentivo: é só aplicar a fórmula certa e simplificar com atenção às potências de dez — você já chegou lá!

Resposta

1{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{T}
1{,}6\\ \mu\mathrm{T}

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