7.7 Em um fio na forma de uma parábola, flui uma corrente de 3 A . Calcule a magnitude do vetor intensidade de campo magnético no foco da parábola se a distância do foco ao vértice é 20 cm .
Passo 1
O enunciado fornece:
- Corrente no fio:
. - Distância do foco ao vértice (comprimento focal):
.
O que é pedido: - Calcular a magnitude do vetor intensidade do campo magnético no foco da parábola (ou seja,
no foco), produzida pela corrente que percorre o fio na forma de parábola.
Passo 2
Ferramenta física que vamos usar: a lei de Biot–Savart. Ela dá o campo magnético diferencial produzido por um pequeno trecho de fio com corrente:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ); -
é a corrente (constante aqui); -
é o vetor tangente ao fio correspondente ao elemento de comprimento do fio; -
é o vetor do elemento até o ponto onde se calcula o campo, é o versor e .
Vou usar essa lei para somar (integrar) a contribuição de todos os trechos do fio (a parábola inteira).
Passo 3
Escolha conveniente de coordenadas e simetria (isso facilita muito a conta):
- Coloco a origem no foco da parábola (o ponto onde queremos calcular
). - Oriento o eixo
ao longo do eixo da parábola, de modo que a parábola abra para cima em relação ao foco/vertice conforme a convenção usada abaixo.
Com a origem no foco, é muito útil usar coordenadas polares(ângulo medido a partir do eixo da parábola). A parábola, vista a partir do foco, tem a forma polar conhecida (propriedade foco-directriz) dada por
onde
é a distância foco–vértex. (Essa é a forma polar de uma parábola com foco na origem e eixo ao longo de
.)
Passo 4
Redução da integral de Biot–Savart usando geometria polar (a grande simplificação):
- Considere um pequeno deslocamento ao longo da curva
. A componente de perpendicular ao vetor (do elemento até o foco) é exatamente — geometricamente, quando o raio gira de para , o deslocamento transversal é . - Portanto o módulo do produto vetorial que aparece na lei de Biot–Savart (para contribuições perpendiculares, que é o caso em plano) é
- Substituindo em Biot–Savart e integrando sobre toda a parábola obtemos a magnitude do campo (direção perpendicular ao plano da parábola, por simetria):
Observação conceitual: essa transformação evita ter de trabalhar com componentes de
e distâncias explicitamente — é a grande vantagem do uso de coordenadas polares quando o ponto de observação é o pólo.
Passo 5
Substituir
da parábola na integral:
Logo
Passo 6
Determinar os limites de integração: para traçar a parábola inteira (do “infinito” de um ramo até o “infinito” do outro ramo) a variável angular
varia de
a
(todas as direções a partir do foco, exceto a direção singular
que corresponde a
; integrar de
a
percorre a curva uma vez). Assim avaliamos a integral:
Passo 7
Substituir o resultado da integral em
:
Essa é uma expressão simples e final: a magnitude do campo no foco é
.
Passo 8
Agora calculo numérico com os dados:
,
e
.
Convertendo para forma decimal: