7.7 Em um fio na forma de uma parábola, flui uma corrente de 3 A . Calcule a magnitude do vetor intensidade de campo magnético no foco da parábola se a distância do foco ao vértice é 20 cm .

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Corrente no fio: \,I=3\\ \text{A}.
  • Distância do foco ao vértice (comprimento focal): \,f=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m}.
    O que é pedido:
  • Calcular a magnitude do vetor intensidade do campo magnético no foco da parábola (ou seja, B no foco), produzida pela corrente que percorre o fio na forma de parábola.

Passo 2

Ferramenta física que vamos usar: a lei de Biot–Savart. Ela dá o campo magnético diferencial produzido por um pequeno trecho de fio com corrente:
d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A});
  • I é a corrente (constante aqui);
  • d\vec l é o vetor tangente ao fio correspondente ao elemento de comprimento do fio;
  • \vec r é o vetor do elemento d\vec l até o ponto onde se calcula o campo, \hat r=\vec r/r é o versor e r=|\vec r|.
    Vou usar essa lei para somar (integrar) a contribuição de todos os trechos do fio (a parábola inteira).

Passo 3

Escolha conveniente de coordenadas e simetria (isso facilita muito a conta):
  • Coloco a origem no foco da parábola (o ponto onde queremos calcular B).
  • Oriento o eixo y ao longo do eixo da parábola, de modo que a parábola abra para cima em relação ao foco/vertice conforme a convenção usada abaixo.
    Com a origem no foco, é muito útil usar coordenadas polares \,(r,\theta) (ângulo \theta medido a partir do eixo da parábola). A parábola, vista a partir do foco, tem a forma polar conhecida (propriedade foco-directriz) dada por
r(\theta)=\frac{2f}{1+\cos\theta},
onde f é a distância foco–vértex. (Essa é a forma polar de uma parábola com foco na origem e eixo ao longo de \theta=0.)

Passo 4

Redução da integral de Biot–Savart usando geometria polar (a grande simplificação):
  • Considere um pequeno deslocamento ao longo da curva d\vec l. A componente de d\vec l perpendicular ao vetor \vec r (do elemento até o foco) é exatamente r\,d\theta — geometricamente, quando o raio r gira de \theta para \theta+d\theta, o deslocamento transversal é r\,d\theta.
  • Portanto o módulo do produto vetorial que aparece na lei de Biot–Savart (para contribuições perpendiculares, que é o caso em plano) é
|d\vec l\times\hat r|=r\,d\theta.
  • Substituindo em Biot–Savart e integrando sobre toda a parábola obtemos a magnitude do campo (direção perpendicular ao plano da parábola, por simetria):
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{r\,d\theta}{r^2} =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{d\theta}{r(\theta)}.
Observação conceitual: essa transformação evita ter de trabalhar com componentes de d\vec l e distâncias explicitamente — é a grande vantagem do uso de coordenadas polares quando o ponto de observação é o pólo.

Passo 5

Substituir r(\theta) da parábola na integral:
\frac{1}{r(\theta)}=\frac{1+\cos\theta}{2f}.
Logo
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{1+\cos\theta}{2f}\,d\theta =\frac{\mu_0 I}{8\pi f}\int (1+\cos\theta)\,d\theta.

Passo 6

Determinar os limites de integração: para traçar a parábola inteira (do “infinito” de um ramo até o “infinito” do outro ramo) a variável angular \theta varia de -\pi a +\pi (todas as direções a partir do foco, exceto a direção singular \theta=\pi que corresponde a r\to\infty; integrar de -\pi a +\pi percorre a curva uma vez). Assim avaliamos a integral:
\int_{-\pi}^{\pi} (1+\cos\theta)\,d\theta = \left[\theta+\sin\theta\right]_{-\pi}^{\pi} = (\pi+0)-(-\pi+0)=2\pi.

Passo 7

Substituir o resultado da integral em B:
B=\frac{\mu_0 I}{8\pi f}\cdot 2\pi=\frac{\mu_0 I}{4f}.
Essa é uma expressão simples e final: a magnitude do campo no foco é \displaystyle B=\dfrac{\mu_0 I}{4f}.

Passo 8

Agora calculo numérico com os dados: \,I=3\\ \text{A}, \,f=0{,}20\\ \text{m} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}.
B=\frac{\mu_0 I}{4f} =\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 3}{4\cdot 0{,}20} =\frac{12\pi\times10^{-7}}{0{,}8} =15\pi\times10^{-7}.
Convertendo para forma decimal:
B\approx 4{,}71\times10^{-6}\\ \text{T}.

Resposta

\displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{4f}\approx 4{,}71\times10^{-6}\\ \text{T}

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